Замечательные пределы и их примеры

Примеры пределов содержащие неопределенности вида ноль на ноль часто встречаются в тригонометрических функциях. Для их раскрытия используют первый замечательный предел суть которого заключается в том, что предел отношения синус функции к аргументу, когда тот стремится к нулю равен единице

На основе этой формулы можно получить ряд полезных для практики пределов

1)

2)

3)

Второй замечательный предел позволяет раскрыть неопределенности вида .

Коротко он имеет следующую запись

где –экспонента.

На основе второго замечательного предела получают следующие формулы

1)

2)

Примеры, которые сводятся к первому и второму замечательному пределу встречаются довольно редко, однако без них такие примеры не решить.

Рассмотрим некоторые примеры из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика» которые приводят к применению замечательных пределов.

————————————

Пример 1. Найти пределы функций.

1) (4. 388)

2) (4. 393)

3) (4. 399)

4) (4. 432)

5) (4. 437)

6)

7)

Решение.

1) Домножим числитель и знаменатель на аргумент и сведем к первой замечательной границы

2) Разделим числитель и знаменатель на аргумент и сократим

3) Согласно разложению корня в окрестности единицы

знаменатель возможно превратить следующим образом

На основе этого и находим предел

4) Сведем к второму замечательному пределу

5) Сведем к правильной дроби выражение в скобках

и подставим в предел

Вычислим первый множитель

Второй предел равна единице

Окончательно получим

6) Сведем решение к первому замечательному пределу

7) Преобразуем показатель для применения второго замечательного предела

Подобных примеров можно привести много, они встречаются в контрольных, тестах, екзаменах. Их решения позволит закрепить Вам лучшие практические навыки поэтому пробуйте решать самостоятельно. Если в обучении вам встретятся тяжелые пределы посчитать которые Вы не в состоянии обращайтесь к нам. Мы Вам в этом поможем!

————————————

Посмотреть материалы:

Ссылка на основную публикацию