Второй замечательный предел, следствия, примеры

Второй замечательный (особый) предел часто вызывает трудности у студентов, хотя сам предел довольно прост и понятен на практике. Он позволяет раскрывать неопределенности вида единица в степени бесконечность неопределенность предела. Замечательный предел имеет следующий вид
второй замечательный предел, формула
где «е»-экспонента.

Следствия второго замечательного предела

1) второй замечательный предел, следствия
2) Второй замечательный предел, следствие
3) Второй замечательный предел, следствие
4) Второй замечательный предел, следствие
5) Второй замечательный предел, следствие
6) Второй замечательный предел, следствие

На практике следствия второго предела реже встречаются на практике чем он сам, однако без них некоторые задачи в простой способ не решить.

Примеры на замечательный предел

Рассмотрим некоторые примеры из сборника А.В. Тевяшев, А.Г. Литвин, Г.М. Кривошеева и др.«Высшая математика в примерах и задачах. Ч.5 Тесты» (Харьков, 2007, ст. 99).

Пример 6.1. Найти предел функции
а) второй замечательный предел, пример

Решение.
Преобразуем функцию к виду при котором возможно применить формулу замечательного предела
преобразования функции

В результате можем применить правило замечательного предела

вычисление предела

 

б)второй замечательный предел, пример

Решение.
Подобно предыдущему примеру превращаем функцию в скобках чтобы применить замечательный предел
преобразования функции

Нужно отметить, что в этом примере и во многих подобных константы в степенях, как правило вклада не несут. Функцию можно расписать следующим образом
предел, вычисления

Предел умышленно расписан в виде произведения двух множителей чтобы Вы убедились что константы в степенях вклада не несут. Их цель запутать Вас, если плохо знаете теоретический материал или сомневаетесь в правильности решения. Во всех последующих примерах мы не будем расписывать примеры на произведение двух границ, однако помните, что они не меняют конечного результата (вклад — множитель единица).

————————————

в) второй замечательный предел, пример

Решение.
Выполняем преобразование заданной функции
преобразования функции

Запись в таком виде сделана специально, потому что степень нужно свести к подобному виду
предел, вычисления

В такой простой способ получили искомый предел функции. В дальнейшем необходимые замены или подсказки будут выделены цветом из общего решения.

 

г) второй замечательный предел, пример

Решение.
Выполним замену переменных в пределе
замена переменных
и определенные преобразования для нахождения предела
нахождения границы
нахождения границы

Бывают случаи, когда прямо применить правило второго замечательного предела довольно сложно, в таких ситуациях используйте простые замены которые Вам понятны и позволяют в быстрый способ найти предел.

 

Пример 6. 2 Вычислить предел функции

а) второй замечательный предел, пример

Решение.
Сводим функцию к правилу замечательного предела
преобразования функции

Подставляем и вычисляем, выполняя нужные манипуляции с показателями
нахождения границы

 

в) второй замечательный предел, пример

Решение.
За известным уже алгоритмом преобразуем функцию
преобразования функции

Применяя определение второго важного предела находим
нахождения границы

 

Пример 6. 3 Определить предел функции
б) второй замечательный предел, пример

Решение.
Сведем функцию для применения замечательного предела
преобразования функции

Подставляем в границу и упрощаем
нахождения границы

 

г) второй замечательный предел, пример

Решение.
«Как найти предел ? — скажете Вы, ведь переменная равна минус бесконечности.
В этом примере видим что аргумент стремится к минус бесконечности, кроме того функция в скобках следует не до единицы, а до 2 при больших аргументах.

Учитывая что степень отрицательный получим следующее значение предела
нахождения границы

Во всех примерах второго замечательного предела следует сначала проверять условие что выражение в скобках стремится к единице. Если нет, то предел функции в зависимости от степени будет равен или нулю или бесконечности. Те из Вас кто часто решает примеры такие проверки осуществляет автоматически. Остальные сводят границу в экспоненте в определенном степени, но все равно вылезает множителем или ноль или бесконечность. В конечном варианте правы все, однако в первом случае тратится гораздо меньше времени, которое так необходима на контрольных работах, тестах, ВНО. Поэтому выбирайте для себя простой путь и делайте в обучении правильные выводы.

 

Пример 6. 5 Найти предел функции
а) второй замечательный предел, пример

Решение.
Заданный пример на вид отличается от предыдущих, однако решение получаем по такой же схеме. Выполняем преобразования функции в скобках под правило замечательного предела
преобразования функции

Осталось в степени выделить обратный множитель
роспись степени
и подставить в границу
предел, вычисления

По такой схеме вычисляйте все подобные пределы, она проста и не требует дополнительных пояснений.

————————————

в) второй замечательный предел, пример

Решение.
К рассматриваемому примеру великих преобразований делать не нужно. Он имеет достаточно простую запись и решение осуществляем в одну строку
предел, вычисления

Практикуйте с подобными пределами, используйте удобные для себя схемы сведения задач под необходимое правило. Не бойтесь делать ошибки — без них обучение не обходится!

Ссылка на основную публикацию