Предел функции с корнями

Среди примеров пределов функции часто встречаются функции с корнями, которые не всегда понятно как раскрывать. Проще когда есть пример границе с корневой функцией вида
предел функции
Решение подобных пределов просто и понятно каждому.
Трудности возникают если есть следующие примеры функций с корнями.

Пример 1. Вычислить предел функции
задание на предел
При прямой подстановке точки x = 1 видно что и числитель и знаменатель функции
предел функции
превращаются в ноль, то есть имеем неопределенность вида 0/0.
Для раскрытия неопределенности следует умножить выражение, содержащее корень на сопряженное к нему и применить правило разности квадратов. Для заданного примера преобразования будут следующими
предел функции
предел функции
предел функции
Предел функции с корнями равен 6. Без приведенного правила ее трудно было бы найти.
Рассмотрим подобные примеры вычисления границы с данным правилом

Пример 2. Найти предел функции
задание на предел
Убеждаемся что при подстановке x = 3 получаем неопределенность вида 0/0.
Ее раскрываем умножением числителя и знаменателя на сопряженное к числителю.
предел функции
предел функции
Далее числитель раскладываем согласно правилу разности квадратов
предел функции
предел функции

Вот так просто нашли предел функции с корнями.

Пример 3. Определить предел функции
задание на предел

Видим, что имеем неопределенность вида 0/0.
Избавляемся ирациональносьти в знаменателе
предел функции
предел функции

Предел функции равна 8.

 

Теперь рассмотрим другой тип примеров, когда переменная в переделе стремится к бесконечности.

Пример 4. Вычислить предел функции
задание на предел
Много из Вас не знают как найти предел функции. Ниже будет раскрыта методика вычислений.
Имемем предел типа бесконечность минус бесконечность. Умножаем и делим на сопряженный множитель и используем правило разности квадратов
предел функции с корнем
Границ функции равна -2,5.

Вычисление подобных пределов фактически сводится к раскрытию иррациональности , а затем подстановке переменной

Пример 5. Найти предел функции
задание на предел
Предел эквивалентен — бесконечность минус бесконечность
неопределенность предела .
Умножим и разделим на сопряженное выражение и выполним упрощение
предел функции с корнем
предел функции

Пример 6. Чему равен предел функции?
задание на предел
Имеем неопределенность вида бесконечность минус бесконечность
неопределенность предела
Выполняем преобразования с корневыми функциями
предел функции с корнем
предел функции
предел функции равен -2.

Хорошо ознакомьтесь с методикой раскрытия неопределенностей, алгоритм достаточно прост и поможем найти сложную границу функции.

Ссылка на основную публикацию