Первый замечательный предел

Замечательных пределов существует несколько, но самыми известными являются первый и второй
замечательные пределы. Замечательность этих пределов состоит в том, что они имеют широкое применение и с их
помощью можно найти и другие пределы, встречающиеся в многочисленных задачах. Этим мы и будем заниматься в практической части данного урока.
Для решения задач путём приведения к первому или второму замечательному пределу не нужно раскрывать содержащиеся в них неопределённости,
поскольку значения этих пределов уже давно вывели великие математики.

Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере:

Приведённое выше равенство основано на эквивалентности бесконечно малых .
Следовательно, верно равенство и следующего отношения:

.

Это разновидность первого замечательного предела.

Переходим к решению задач на первый замечательный предел. Заметим: если под знаком предела находится
тригонометрическая функция, это почти верный признак того, что это выражение можно привести к первому замечательнному пределу.

При решении не обойтись без преобразований выражений. Для этого обязательно потребуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 1. Найти предел .

Решение. Подстановка вместо x нуля приводит к неопределённости:

.

В знаменателе — синус, следовательно, выражение можно привести к первому замечательному пределу. Начинаем преобразования:

.

В знаменателе — синус трёх икс, а в числителе всего лишь один икс, значит, нужно
получить три икс и в числителе. Для чего? Чтобы представить 3x = a и
получить выражение .

И приходим к разновидности первого замечательного предела:

,

потому что неважно, какая буква (переменная) в этой формуле стоит вместо икса.

Умножаем икс на три и тут же делим:

.

В соответствии с замеченным первым замечательным пределом производим замену
дробного выражения:

.

Теперь можем окончательно решить данный предел:

.

Пример 2. Найти предел .

Решение. Непосредственная подстановка вновь приводит к неопределённости «нуль делить на нуль»:

.

Чтобы получить первый замечательный предел, нужно, чтобы икс под знаком синуса
в числителе и просто икс в знаменателе были с одним и тем же коэффициентом. Пусть этот коэффициент будет равен 2.
Для этого представим нынешний коэффициент при иксе как
и далее, производя действия с дробями, получаем:

.

Пример 3. Найти предел .

Решение. При подстановке вновь получаем неопределённость «нуль делить на нуль»:

.

Наверное, вам уже понятно, что из исходного выражения можно получить первый замечательный предел, умноженный на первый
замечательный предел. Для этого раскладываем квадраты икса в числителе и синуса в знаменателе на одинаковые множители,
а чтобы получить у иксов и у синуса одинаковые коэффициенты, иксы в числителе делим на 3 и тут же
умножаем на 3. Получаем:

.

Пример 4. Найти предел .

Решение. Вновь получаем неопределённость «нуль делить на нуль»:

.

Можем получить отношение двух первых замечательных пределов. Делим и числитель, и знаменатель на икс.
Затем, чтобы коэффициенты при синусах и при иксах совпадали, верхний икс умножаем на 2 и тут же делим на 2, а нижний икс
умножаем на 3 и тут же делим на 3. Получаем:

Пример 5. Найти предел .

Решение. И вновь неопределённость «нуль делить на нуль»:

.

Помним из тригонометрии, что тангенс — это отношение синуса к косинусу, а косинус нуля равен единице.
Производим преобразования и получаем:

.

Пример 6. Найти предел .

Решение. Тригонометрическая функция под знаком предела вновь наталкивает на мысль о применении первого замечательного предела.
Представляем его как отношение синуса к косинусу.

.

Так как , то и

Пример 7. Найти предел .

Решение. И вновь неопределённость «ноль делить на ноль» и синус под знаком предела. Значит надо приводить к первому замечательному пределу.
Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряжённое числителю и получим

Пример 8. Найти предел .

Решение. Бороться с неопределённостью «ноль делить на ноль» будем приведением к первому замечательному пределу. Вспоминаем
формулу тригонометрической единицы и подставляем её. Потом вспоминаем, что косинус в квадрате нуля и просто косинус нуля равны единице, а они у нас с противоположными знаками,
значит взаимно уничтожаются. Затем умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю. И дальнейшие преобразования. Всё
вышеописанное выглядит так:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Предел

Ссылка на основную публикацию