Метод логарифмирования раскрытия неопределенностей. Правило Лопиталя

Продолжаем разбирать готовые ответы на правило Лопиталя и сегодня рассмотрим примеры сведение неопределенностей 1^∞, 0^0, 0^∞ под это правило. Все случаи рассмотреть невозможно, однако 15 примеров, что идут далее помогут разобраться с алгоритмами вычисления пределов каждого внимательного студента.

Метод логарифмирования раскрытия неопределенностей в пределах

Пример 16 Вычислить предел по формуле Лопиталя limit(x^(1/(1-x)),x→0)

Решение: Предел имеет особенность типа 1^∞. Для применения метода логарифмирования за новую функцию обозначим y=x1/(1-x). Делее логарифмируем обе части, получим
ln(y)=ln(x1/(1-x))=ln(x)/(1-x).
По правилу Лопиталя раскрываем неопределенность вида 0/0

Это еще не конечный ответ, чтобы найти y нужно экспоненту поднести к степени равному найденному пределу.
ln(y)=-1 y=e-1=1/e.

Пример 17 Раскрыть неопределенность по правилу Лопиталя

Решение: Имеем неопределенность типа ноль в степени ноль 0^0. Поступаем по схеме для показательных функций, а именно – логарифмуємо выражение в лимите.
y=(arcsin(x))2;
ln(y)=2x•ln(arcsin(x)).

Для раскрытия неопределенности используем правило Лопиталя дважды
метод логарифмирования, правило Лопиталя
Здесь нужно брать производную от ln(arcsin(x)), как от сложной функции, помните об этом.

 

Пример 18 Найти предел пользуясь правилом Лопиталя

Решение: Подставки аргумента равного 90 градусам дает неопределенность вида единицы в степени бесконечность 1^∞. Согласно алгоритму вычисления пределов, функцию под лимитом следует прологарифмирувать. Далее найти предел логарифма, а потом экспонента в степени полученного значения и будет ответом к заданию. Проведем вычисления
y= tan(x)sin(x);
ln(y)=ln(sin(x))^tg(x)=tan(x)•ln(sin(x)).

Воспользуемся правилом Лопиталя, предварительно заменив тангенс на котангенс по формуле tg(x)=1/cot(x).
метод логарифмирования, вычисления пределов
Но это еще не ответ, нужно потенцировать 0.
ln(y)=0y=e0=e.

Сведение неопределенностей в пределах под правило Лопиталя

Пример 19 Мнимая подстановка x=2 в функцию дает неопределенность вида 0/0, поэтому применяем правило Лопиталя однократно, а далее без труда вычисляем лимит.
нахождения предела по Лопіталем

 

Пример 20 Подстановкой убеждаемся, что имеем неопределенность вида 0/0. По формуле Лопиталя вычисляем производную числителя и знаменателя по переменной, чтобы раскрыть неопределенность.
вычисление предела

 

Пример 21 Имеем долю полиномов без свободного члена, что в предельной точке дает особенность вида 0/0. Для ее раскрытие по правилу Лопиталя дифференцируем каждый полином пока не получим дробь, предел которой можно вычислить подстановкой
предел функции по Лопиталю

 

Пример 22 В числителе имеем x^2, в знаменателе 2^x.
правило Лопиталя, предел
Решение: Поскольку аргумент стремится к бесконечности, то прямая подстановка дает особенность вида ∞/∞. Ее раскрываем дважды беря производные числителя и знаменателя по «x».

Пример 23 Имеем дробь с функций e^x, x^a. В такого сорта примерах правило Лопиталя применяют до тех пор, пока в знаменателе не получим факториал числа a!
правило Лопиталя, предел функции
Запомните, что ограничений на количество повторных применений правила Лопиталя нет, находим производные до тех пор, пока имеем одну из неопределенностей 0/0 или ∞/∞.

Пример 24 Очередное задание на раскрытие неопределенности вида ∞/∞ решаем путем дифференцирования отдельно числителя x^a и знаменателя ln(x).правило Лопиталя, нахождения лимита

Пример 25 Имеем долю функций f(x)=arctan(x) и g(x)=e3x-1. В нуле они дают неопределенность вида 0/0, поэтому имеем все основания применить правило Лопиталя.
правило Лопиталя, вычисление пределов
Поскольку выражения e^3x→1 и 1/(1+49x^2) →1 когда x→0, то предел равен 7/3.

 

Пример 26 Согласно алгоритму, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ дважды применяем правило Лопиталя.
правило Лопиталя, вычисление предела

 

Пример 27 Переходим от неопределенности вида ноль умножить на бесконечность к неопределенности бесконечность разделить на бесконечность, которую раскрываем по правилу Лопиталя через дифференцирование числителя и знаменателя дроби. Внимательно посмотрите схему перехода от одной неопределенности к другой и запомните, что когда имеем произведение логарифма на другую функцию, то в знаменатель переносим последнюю, а не логарифм.
правило Лопиталя, вычисление лимита

Пример 28 Прямая подстановка дает неопределенность ноль умножить на бесконечность 0*
предел по Лопиталю
Чтобы свести пример к применению правила Лопиталя в искусственный способ котангенс переносим в знаменатель дроби, а далее заменяем 1/ctg(x)=tg(x). Таким образом получаем особенность в виде доли бесконечно малых функций, раскрываем дифференцированием по Лопиталю и подстановкой x=0.

Раскрытие неопределенностей ∞-∞

Пределы с неопределенностью ∞-∞ также раскрываем по правилу Лопиталя, но предварительно проводим определенные элементарные действия над слагаемыми, чтобы перейти от разности бесконечно больших функций к дроби.
Пример 29 Формулы ниже хорошо иллюстрируют как дважды применяли дифференцирование числителя и знаменателя дроби, чтобы избавиться от неопределенности 0/0.
неопределенность ∞-∞, Лопіталь

Пример 30 Имеем неопределенность вида ∞-∞, которую раскрываем путем сведения дробей к общему знаменателю. Далее по правилу Лопиталя вычисляем производные числителя и знаменателя, и так дважды.
 правило Лопиталя, ∞-∞
И только когда избавляемся неопределенности выполняем подстановку аргумента в предел. Считаем, чтобы начать решать примеры на правило Лопиталя, 30 приведенных примеров вполне достаточно. Если есть проблемы с расчетными или модулями, то всегда можете обращаться к нам за помощью!

Ссылка на основную публикацию