Числовая последовательность и ее предел. Общий член последовательности

Нахождение границ занимает важное место в курсе высшей математики. Для этого нужно знать много правил и приемов. Обо всем этом пойдет речь в данном разделе и для начала дадим определение предела числовой последовательности.

Множество чисел

которое определено для каждого натурального числа с одинаковым правилом называют числовой последовательностью и обозначают , где – члены числовой последовательности, общий член последовательности..

Число называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число , что при всех выполняется неравенство

Если есть границей последовательности то записывают

Есть несколько типов числовых последовательностей, которые вы обязательно должны знать:

1) Возрастающая последовательность – каждый ее член больше предыдущего

2) Неубывающая последовательность – каждый следующий член не меньший от предыдущего

3) Нисходящая последовательность – каждый новый член меньше предыдущего

4) Невозрастающая последовательность – каждый старший член не больше предыдущего

5) Ограниченная последовательность имеет место тогда, когда найдутся такие действительные числа и , что для всех натуральных чисел выполняется неравенство

6) Последовательность называется неограниченной, если она постоянно или растет или убывает.

7) Последовательность, имеющая предел называется сходящейся. Противоположная к ней последовательность — соответственно расходящимися.

СВОЙСТВА СХОДЯЩЕЙСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1) Граница постоянной последовательности равна постоянной.

2) Если последовательность имеет предел, граница единственная. Отсюда следует, что такая последовательность ограничена.

3) Пусть граница числовой последовательности существует

Тогда найдется такое число , что для всех больших за него значений выполняется неравенство

4) Предположим, что выполняется неравенство

Если последовательности и сходящейся и их пределы одинаковы

то последовательность также будет сходящейся, а ее предел совпадает с пределами боковых последовательностей

5) Любая монотонно ограниченная последовательность имеет предел.

Частным случаем числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Одними из простых задач является определение формулы общего члена последовательности по известным первым. Например, выберем следующие задачи из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика».

————————————

Пример 1.

Написать формулу общего члена последовательности.

1) (4. 258)

2) (4. 261)

3) (4. 265)

Решение.

При определении общего члена последовательности следует уловить особенность изменения последующего его члена к предыдущему. Разница между ними может носить линейный, показательное или иной характер. В данном случае примеры не тяжелые, поскольку каждый последующий член описан в том виде, в котором его определяют, а не в виде дроби (в числителе и знаменателе одно число). Стоит отметить то, что при выводе общего члена последовательности принято записывать первыми переменные ,, т.е. в виде

а не

Перейдем к нахождению искомых величин

1) По особенности изменения числителя и знаменателя видим, что числитель растет линейно, а знаменатель согласно показательного закона.

Общий член последовательности будет выглядеть

2) В этом примере

и числитель и знаменатель меняются линейно, смещаясь от единицы на определенные константы

3) В данном случае

изменение является нелинейным, но общий член последовательности уловить возможно.

Для нахождения формулы общего члена последовательности исследуйте поведение отдельно числителя и знаменателя.

Определите изменяются ли они линейно, нелинейно, по степенным законам и т.д. На основе закономерностей выведите формулу общего члена последовательности.

Посмотреть материалы:

Ссылка на основную публикацию