43. Предел

Определение. Пусть — произвольная числовая последовательность. Пусть задана строго возрастающая последовательность натуральных чисел Рассмотрим последовательность Эта последовательность называется подпоследовательностью последовательности .

Упражнения.

1. Пусть последовательность имеет предел . Докажите, что тогда и любая ее подпоследовательность имеет тот же предел .

2. Пусть последовательность разбита на две подпоследовательности и . Докажите, что если и , то и сходится к .

В частности, если последовательности и сходятся к , то и последовательность .

Мы определяли число как предел последовательности

Теперь докажем более общий результат:

По упражнению,  имеет место и равенство

если — произвольная последовательность натуральных чисел, растущих вместе с номером до бесконечности.

Пусть теперь пробегает какую-нибудь последовательность значений, стремящихся к ; можно считать также, что все . Положим , так что

Так как при этом

то

Два крайних выражения могут быть преобразованы так:

причем, в силу того, что

в то время как, очевидно,

таким образом, оба выражения стремятся к общему пределу , а тогда и заключенное между ними выражение также стремится к (по теореме о сжатой последовательности). Это и доказывает наше утверждение.

Для доказательства же утверждения

предположим теперь, что последовательность имеет пределом (причем можно считать все ). Если положить , тогда (и все ). Очевидно,

Так как, по доказанному, первый множитель последнего выражения стремится к , второй же, очевидно, имеет пределом , то и выражение слева стремится к . Формула доказана.

Заменим теперь в выражении переменную на ; если придать последовательность положительных или отрицательных значений, стремящихся к нулю (но не равных нулю), то будет стремиться к . Поэтому доказываемые формулы можно переписать в виде