43. Предел

Определение. Пусть (x_n) — произвольная числовая последовательность. Пусть задана строго возрастающая последовательность натуральных чисел n_1<n_2<n_3ldots Рассмотрим последовательность x_{n_1},x_{n_2},x_{n_3}ldots Эта последовательность называется подпоследовательностью последовательности (x_n).

Упражнения.

1. Пусть последовательность (x_n) имеет предел a. Докажите, что тогда и любая ее подпоследовательность (x_{n_k}) имеет тот же предел a.

2. Пусть последовательность (x_n) разбита на две подпоследовательности (y_n) и (z_n). Докажите, что если y_nto a и z_nto a, то и (x_n) сходится к a.

В частности, если последовательности (x_{2n}) и (x_{2n-1}) сходятся к a, то и последовательность x_nto a.

Мы определяли число e как предел последовательности

    [e=lim_{nto+infty}left(1+{1over n}right)^n.]

Теперь докажем более общий результат:

    [e=lim_{xtoinfty}left(1+{1over x}right)^x.]

По упражнению,  имеет место и равенство

    [e=lim_{n_ktoinfty}left(1+{1over n_k}right)^{n_k} ,]

если n_k — произвольная последовательность натуральных чисел, растущих вместе с номером k до бесконечности.

Пусть теперь x пробегает какую-нибудь последовательность (x_k) значений, стремящихся к +infty; можно считать также, что все x_k>1. Положим n_k=[x_k], так что

    [n_kle x_k<n_k+1, n_kto+infty.]

Так как при этом

    [{1over n_k+1}<{1over x_k}le{1over n_k},]

то

    [left(1+{1over n_k+1}right)^{n_k}<left(1+{1over x_k}right)^{x_k}<left(1+{1over n_k}right)^{n_k+1}.]

Два крайних выражения могут быть преобразованы так:

    [begin{array}{l} displaystyle left(1+{1over n_k+1}right)^{n_k}={displaystyleleft(1+{1over n_k+1}right)^{n_k+1}over displaystyle 1+{1over n_k+1}},\[5mm] displaystyle left(1+{1over n_k}right)^{n_k+1}=left(1+{1over n_k}right)^{n_k}cdotleft(1+{1over n_k}right), end{array}]

причем, в силу того, что

    [e=lim_{n_ktoinfty}left(1+{1over n_k}right)^{n_k} ,]

    [left(1+{1over n_k}right)^{n_k}to e, left(1+{1over n_k+1}right)^{n_k+1}to e,]

в то время как, очевидно,

    [1+{1over n_k}to1, 1+{1over n_k+1}to1;]

таким образом, оба выражения стремятся к общему пределу e, а тогда и заключенное между ними выражение также стремится к e (по теореме о сжатой последовательности). Это и доказывает наше утверждение.

Для доказательства же утверждения

    [e=lim_{xto-infty}left(1+{1over x}right)^x]

предположим теперь, что последовательность x_k имеет пределом -infty (причем можно считать все x_k<-1). Если положить x_k=-y_k, тогда y_kto+infty (и все y_k>1). Очевидно,

    [begin{array}{l} displaystyle left(1+{1over x_k}right)^{x_k}=left(1-{1over y_k}right)^{-y_k}=left({y_kover y_k-1}right)^{y_k}=\[3mm] displaystyle =left(1+{1over y_k-1}right)^{y_k-1}cdotleft(1+{1over y_k-1}right). end{array}]

Так как, по доказанному, первый множитель последнего выражения стремится к e, второй же, очевидно, имеет пределом 1, то и выражение слева стремится к e. Формула доказана.

Заменим теперь в выражении displaystyle left(1+{1over x}right)^x переменную x на 1/alpha; если придать alpha последовательность положительных или отрицательных значений, стремящихся к нулю (но не равных нулю), то x=1/alpha будет стремиться к pminfty. Поэтому доказываемые формулы можно переписать в виде

    [e=lim_{alphato0}(1+alpha)^{1over alpha}.]

Ссылка на основную публикацию