Определение. Пусть — произвольная числовая последовательность. Пусть задана строго возрастающая последовательность натуральных чисел
Рассмотрим последовательность
Эта последовательность называется подпоследовательностью последовательности
.
Упражнения.
1. Пусть последовательность имеет предел
. Докажите, что тогда и любая ее подпоследовательность
имеет тот же предел
.
2. Пусть последовательность разбита на две подпоследовательности
и
. Докажите, что если
и
, то и
сходится к
.
В частности, если последовательности и
сходятся к
, то и последовательность
.
Мы определяли число как предел последовательности
Теперь докажем более общий результат:
По упражнению, имеет место и равенство
если — произвольная последовательность натуральных чисел, растущих вместе с номером
до бесконечности.
Пусть теперь пробегает какую-нибудь последовательность
значений, стремящихся к
; можно считать также, что все
. Положим
, так что
Так как при этом
то
Два крайних выражения могут быть преобразованы так:
причем, в силу того, что
в то время как, очевидно,
таким образом, оба выражения стремятся к общему пределу , а тогда и заключенное между ними выражение также стремится к
(по теореме о сжатой последовательности). Это и доказывает наше утверждение.
Для доказательства же утверждения
предположим теперь, что последовательность имеет пределом
(причем можно считать все
). Если положить
, тогда
(и все
). Очевидно,
Так как, по доказанному, первый множитель последнего выражения стремится к , второй же, очевидно, имеет пределом
, то и выражение слева стремится к
. Формула доказана.
Заменим теперь в выражении переменную
на
; если придать
последовательность положительных или отрицательных значений, стремящихся к нулю (но не равных нулю), то
будет стремиться к
. Поэтому доказываемые формулы можно переписать в виде