4. Замечательные пределы

I. $displaystylelim_{xto 0}(1+x)^{1over x}=e$ .

Доказательство см. в курсе 10 класса.

II. $displaystylelim_{xto0}{log_a(1+x)over x}=log_ae$ .

Доказательство.

$[lim_{xto0}log_a(1+x)^{1over x}=log_ae .]$

Из непрерывности функции $y=log_ax$ получаем требуемое ( $lim f(x)=f(lim x)$ ).

III. $displaystylelim_{xto0}{a^x-1over x}=ln a$ .

Доказательство. Положим $a^x-1=betaLongrightarrow x=log_a(1+beta)$ .

$[begin{array}{l} xto0Longrightarrowbetato0\[2mm] displaystyle lim_{xto0}{a^x-1over x}=lim_{betato0}{betaover log_a(1+beta)}={1over log_ae}=ln a. end{array}]$

Если $a=e$ , то $displaystylelim_{xto0}{e^x-1over x}=1$ .

Если $ninmathbb{N}$ , то

$[lim_{ntoinfty}nleft(sqrt[n]{a}-1right)=lim_{ntoinfty}{a^{1over n}-1over {1over n}}=ln a .]$

IV. $displaystylelim_{xto0}{(1+x)^{mu}-1over x}=mu$ .

Доказательство.

$[begin{array}{l} (1+x)^{mu}-1=beta xto0Longrightarrowbetato0,\[2mm] (1+x)^{mu}=1+beta,\[2mm] muln(1+x)=ln(1+beta),\[2mm] displaystyle lim_{xto0}{(1+x)^{mu}-1over x}=lim_{stackrel{xto0}{betato0}}{betaover x}=lim_{stackrel{xto0} {betato0}}{betaover ln(1+beta)}{ln(1+beta)over x} =lim_{stackrel{xto0}{betato0}}{muln(1+x)over x}=mu. end{array}]$

V. $displaystylelim_{xto0}{sin xover x}=1$ .

Доказательство.

$[begin{array}{l} S_{Delta OCA}<S_{mbox{rm sector} OCA}<S_{Delta OBA}\[2mm] displaystyle {1over 2}R^2sin x<{1over 2}R^2x<{1over 2}R^2{rm tg}, x,\[4mm] sin x< x< {rm tg}, x,\[2mm] displaystyle {1over sin x}>{1over x}>{1over {rm tg} x},\[4mm] displaystyle 1>{sin xover x}>cos x . end{array}]$

При $xto0$ $displaystyleleft{begin{array}{l} 1to1,\ cos xto1, end{array}right|Longrightarrow{sin xover x}to1$ по теореме о двух милиционерах.

Таким образом, $displaystylelim_{xto0+0}{sin xover x}=1$ .

Пусть $-pi/2<x<0$ , тогда $sin x=-sin(-x)$ .

$[begin{array}{l} xto-0Longrightarrow -xto+0,\[2mm] displaystyle lim_{xto-0}{sin xover x}=1. end{array}]$

Значит, $displaystylelim_{xto0}{sin xover x}=1$ .

Задачи. Вычислите пределы

1) $displaystylelim_{xto0}frac{sin2x}{x}$ ;
2) $displaystylelim_{xto pi/5}frac{sin x-sinfrac{pi}{5}}{5x-pi}$ ;
3) $displaystylelim_{xto pi/4}frac{{rm tg}, x-1}{2cos x-sqrt{2}}$ ;

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40