4. Замечательные пределы

I. displaystylelim_{xto 0}(1+x)^{1over x}=e.

Доказательство см. в курсе 10 класса.

II. displaystylelim_{xto0}{log_a(1+x)over x}=log_ae.

Доказательство.

    [lim_{xto0}log_a(1+x)^{1over x}=log_ae .]

Из непрерывности функции y=log_ax получаем требуемое (lim f(x)=f(lim x)).

III. displaystylelim_{xto0}{a^x-1over x}=ln a.

Доказательство. Положим a^x-1=betaLongrightarrow x=log_a(1+beta).

    [begin{array}{l} xto0Longrightarrowbetato0\[2mm] displaystyle lim_{xto0}{a^x-1over x}=lim_{betato0}{betaover log_a(1+beta)}={1over log_ae}=ln a. end{array}]

Если a=e, то displaystylelim_{xto0}{e^x-1over x}=1.

Если ninmathbb{N}, то

    [lim_{ntoinfty}nleft(sqrt[n]{a}-1right)=lim_{ntoinfty}{a^{1over n}-1over {1over n}}=ln a .]

IV. displaystylelim_{xto0}{(1+x)^{mu}-1over x}=mu.

Доказательство.

    [begin{array}{l} (1+x)^{mu}-1=beta xto0Longrightarrowbetato0,\[2mm] (1+x)^{mu}=1+beta,\[2mm] muln(1+x)=ln(1+beta),\[2mm] displaystyle lim_{xto0}{(1+x)^{mu}-1over x}=lim_{stackrel{xto0}{betato0}}{betaover x}=lim_{stackrel{xto0} {betato0}}{betaover ln(1+beta)}{ln(1+beta)over x} =lim_{stackrel{xto0}{betato0}}{muln(1+x)over x}=mu. end{array}]

V. displaystylelim_{xto0}{sin xover x}=1.

Доказательство.

    [begin{array}{l} S_{Delta OCA}<S_{mbox{rm sector} OCA}<S_{Delta OBA}\[2mm] displaystyle {1over 2}R^2sin x<{1over 2}R^2x<{1over 2}R^2{rm tg}, x,\[4mm] sin x< x< {rm tg}, x,\[2mm] displaystyle {1over sin x}>{1over x}>{1over {rm tg} x},\[4mm] displaystyle 1>{sin xover x}>cos x . end{array}]

При xto0displaystyleleft{begin{array}{l} 1to1,\ cos xto1, end{array}right|Longrightarrow{sin xover x}to1 по теореме о двух милиционерах.

Таким образом, displaystylelim_{xto0+0}{sin xover x}=1.

Пусть -pi/2<x<0, тогда sin x=-sin(-x).

    [begin{array}{l} xto-0Longrightarrow -xto+0,\[2mm] displaystyle lim_{xto-0}{sin xover x}=1. end{array}]

Значит, displaystylelim_{xto0}{sin xover x}=1.

Задачи. Вычислите пределы

1) displaystylelim_{xto0}frac{sin2x}{x};
2) displaystylelim_{xto pi/5}frac{sin x-sinfrac{pi}{5}}{5x-pi};
3) displaystylelim_{xto pi/4}frac{{rm tg}, x-1}{2cos x-sqrt{2}};

Ссылка на основную публикацию