36. Определение и основные свойства предела последовательности

Определение. Число a называется пределом последовательности (x_n), если для любого положительного числа varepsilon найдется член последовательности такой, что все члены последовательности (x_n), следующие за ним, отстоят от a меньше, чем на varepsilon.

Определение. Число a называется пределом последовательности (x_n), если в любом открытом промежутке, содержащем число a, содержатся все члены
последовательности (x_n), начиная с некоторого.

Теорема (о единственности предела). Если a — предел последовательности x_n и b — предел последовательности (x_n), то a=b.

Доказательство. Предположим, что a<b. Возьмем displaystylevarepsilon={b-aover 2}. Найдется такой номер N_1, что forall n>N_1

    [|x_n-a|<varepsilonLongrightarrow x_n<a_n+varepsilon;]

также существует N_2: forall n>N_2

    [|x_n-b|<varepsilonLongrightarrow x_n>b_n-varepsilon.]

Возьмем n, которое больше N_1 и N_2. Тогда

    [left.begin{array}{l} x_n<a+varepsilon,\ x_n>b-varepsilon, end{array}right|Longrightarrow b-varepsilon<a+varepsilonLongrightarrow 2varepsilon>b-aLongrightarrowvarepsilon>{b-aover 2}.]

Обозначение. a есть предел (x_n):

lim x_n=a,

x_nto a(x_n) стремится (сходится) к a,

    [lim_{ntoinfty}x_n=aqquad x_nstackrel{longrightarrow}{scriptstyle ntoinfty}a.]

Определение. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Определение. Последовательность называется строго возрастающей (возрастающей) [строго убывающей] <убывающей>, если каждый ее член, начиная со второго, больше (не меньше) [меньше] < не больше > предыдущего члена.

Последовательности (строго) возрастающая и (строго) убывающая называются (строго) монотонными.

Определение. Последовательность (x_n) называется ограниченной, если существует M: forall ninmathbb{N} |x_n|le M.

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть a — предел последовательности (x_n). Тогда найдется такой номер N, что forall n>N|x_n-a|<1

    [begin{array}{l} a-1<x_n<a+1,\ A=min{ a-1,x_1,ldots,x_n},\ B=max{ a-1,x_1,ldots,x_n} . end{array}]

Тогда forall nquad Ale x_nle B.

Замечание. Тем самым, мы доказали ограниченность последовательности x_n, поскольку, выбрав M>max{|A|,|B|}, получим |x_n|le M.

Определение. Говорят, что последовательность (x_n)отделена от нуля, если найдется такое положительное число c, что все члены этой последовательности по модулю больше c.

Теорема (о предельном переходе в неравенствах). Пусть (a_n) и (b_n) — последовательности, причем exists N:forall n>Na_nle b_n. Пусть a_nto a, b_nto b. Тогда ale b.

Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы неверно, т.е. a>b. Рассмотрим промежутки

    [begin{array}{l} displaystyle U_1=left( b-1,{a+bover 2}right), U_2=left( {a+bover 2},a-1right);\[3mm] exists N_1: forall nge N_1 b_nin U_1 qquad(b_nto b)\ exists N_2: forall nge N_2 a_nin U_2 qquad(a_nto a). end{array}]

Возьмем N '=max{ N,N_1,N_2}. Тогда forall nge N '

    [a_nle b_n,a_nin U_2,b_nin U_1.]

Получили противоречие, т.к.

    [begin{array}{l} displaystyle a_nin U_2Longrightarrow a_n>{a+bover 2},\[3mm] displaystyle b_nin U_1Longrightarrow b_n<{a+bover 2},\[3mm] b_n<a_n. end{array}]

Замечание. Если в условии теоремы заменить неравенство a_nle b_n на a_n<b_n, то все равно можно утверждать лишь то, что ale b. Действительно,

    [left.begin{array}{l} a_n=0,\ b_n=1/n, end{array}right|Longrightarrowforall n a_n<b_n begin{array}{l} a_nto 0,\ b_nto 0 . end{array}]

Теорема (принцип сжатой последовательности, теорема о двух милиционерах). Пусть даны последовательности (a_n),(b_n),(c_n) и существует N: forall n>Na_nle b_nle c_n. Известно, что a_nto a,c_nto a. Тогда b_nto a.

Доказательство. Возьмем произвольный промежуток U: ain U.

    [begin{array}{l} exists N_1: forall nge N_1 a_nin Uqquad  (a_nto a) ,\ exists N_2: forall nge N_2 c_nin Uqquad (c_nto a) . end{array}]

Обозначим N '=max{ N,N_1,N_2}. Тогда forall n>N '

    [a_nin U,c_nin U,a_nle b_nle c_nLongrightarrowforall n>N ' b_nin U.]

Значит, b_nto a.

Замечание. Принцип сжатой последовательности является теоремой существования и не следует из теоремы о предельном переходе в неравенствах.

Определение. Говорят, что displaystylelim_{ntoinfty}x_n=infty, если forall E>0 exists N:

    [|x_n|>E, if n>N;]

Последовательность (x_n) при этом называется бесконечно большой;

displaystyle lim_{ntoinfty}x_n=+infty, если forall E>0 exists N:

    [x_n>E, if n>N;]

displaystyle lim_{ntoinfty}x_n=-infty, если forall E>0 exists N:

    [x_n<-E, if n>N.]

Определение. Последовательность (x_n) называется бесконечно малой, если displaystyle lim_{ntoinfty} x_n=0.

Задачи.

1) Выясните, являются ли последовательности монотонными

1. a_n=n^2+1 .
2. a_{n+2}=a_n+a_{n+1}-1,a_1=1,a_2=2 .

2) Выясните, являются ли последовательности ограниченными

1. a_n=n+1 .
2. displaystyle a_{n+1}=frac{1}{a_n+2}+1 ,a_1=1 .

3) Последовательность (a_n) ограничена, а последовательность (b_n) не ограничена. Выясните, какие из следующих последовательностей обязательно неограниченные, а какие могут быть неограниченными:

1. x+n=a_n+b_n .
2. displaystyle x_n=frac{a_n}{b_n} .
3. x_n=sqrt[3]{a_n}+sqrt[5]{b_n} .

3) Докажите, что следующие последовательности стремятся к нулю:

1. displaystyle a_n=frac{1}{n-1} .
2. displaystyle a_n=frac{1}{n+3} .

4) Докажите, что

1. displaystyle lim_{ntoinfty}frac{2n+1}{n-1}=2 .
2. displaystyle lim_{ntoinfty} 2^n=+infty .

5) Приведите, если это возможно, примеры последовательностей, удовлетворяющим данным ниже условиям. Если это невозможно, объясните, почему.

1. (x_n) и (y_n) — расходящиеся, displaystyle lim_{ntoinfty}(x_n+y_n)=1.

2. (x_n) — сходящаяся, (y_n) — расходящаяся, (x_ncdot y_n) — сходящаяся.

3. (x_n) и (y_n) — расходящиеся, (x_ncdot y_n) — сходящаяся.

4. (x_n) и (y_n) — расходящиеся, displaystyle lim_{ntoinfty} (x_ncdot y_n)=1.

Ссылка на основную публикацию