- Решение матричных уравнений: как это делается
- Решение матричных уравнений: примеры
Решение матричных уравнений: как это делается
Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в
которых присутствует операция умножения. Например,
ax=b,
где x — неизвестное.
А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц,
то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.
Итак, матричным уравнением называется уравнение вида
A ⋅ X = B
или
X ⋅ A = B,
где A и B —
известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.
Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того,
чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B,
обе его части следует умножить на обратную к A матрицу 
слева:
.
По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную
матрицу равно единичной матрице: 
,
поэтому
.
Так как E — единичная матрица, то
E ⋅ X = X. В результате
получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы,
обратной к матрице A, слева, на матрицу B:
.
Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение
X ⋅ A = B,
то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X
и известной матрицы A матрица A
находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу,
обратную матрице A, и умножать матрицу B
на неё справа:
,
,
.
Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как
. Обратная к
A матрица умножается на матрицу B
с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную
матрицу X. То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной
матрицей находится матрица A.
Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой
части уравнения неизвестная матрица X находится в середине
произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева
на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на
матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения
A ⋅ X ⋅ B = C,
является
.
Решение матричных уравнений: примеры
Пример 1. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B, то
есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы
X матрица A находится слева.
Поэтому решение следует искать в виде 
,
то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу,
обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице
A.
Сначала найдём определитель матрицы A:
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A:
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:
.
Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A:
.
Наконец, находим неизвестную матрицу:
Решить матричное уравнение самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 2. Решить матричное уравнение
.
Посмотреть правильное решение и ответ.
Пример 3. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B, то
есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы
X матрица A находится справа.
Поэтому решение следует искать в виде 
,
то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу,
обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице
A.
Сначала найдём определитель матрицы A:
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A:
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:
.
Находим матрицу, обратную матрице A:
.
Находим неизвестную матрицу:
До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь
матриц третьего порядка.
Пример 4. Решить матричное уравнение
.
Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B, то
есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы
X матрица A находится слева.
Поэтому решение следует искать в виде 
,
то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу,
обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице
A.
Сначала найдём определитель матрицы A:
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A:
Составим матрицу алгебраических дополнений:
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:
.
Находим матрицу, обратную матрице A, и делаем
это легко, так как определитель матрицы A равен единице:
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 5. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B, то
есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы
X матрица A находится справа.
Поэтому решение следует искать в виде 
,
то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу,
обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице
A.
Сначала найдём определитель матрицы A:
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A:
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:
.
Находим матрицу, обратную матрице A:
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 6. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C, то
есть неизвестная матрица X находится в середине
произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде
. Найдём матрицу, обратную матрице
A.
Сначала найдём определитель матрицы A:
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A:
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:
.
Находим матрицу, обратную матрице A:
.
Найдём матрицу, обратную матрице
B.
Сначала найдём определитель матрицы B:
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы B:
Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
B:
.
Находим матрицу, обратную матрице B:
.
Находим неизвестную матрицу:
Поделиться с друзьями
Загрузка...
