Матрицы в математике: определения и применение

  • Матрицы — что это?
  • Матрицы, основные определения
  • Применение матриц в математико-экономическом моделировании

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
посмотреть ответы.

Матрицы — что это?

Матрицы в математике — один из важнейших объектов, имеющих прикладное значение. Часто
экскурс в теорию матриц начинают со слов: «Матрица — это прямоугольная таблица…». Мы начнём этот экскурс
несколько с другой стороны.

Телефонные книги любого размера и с любым числом данных об абоненте — ни что иное, как матрицы. Такие матрицы
имеют примерно следующий вид:

Ясно, что такими матрицами мы все пользуемся почти каждый день. Эти матрицы бывают с различным
числом строк (различаются как выпущенный телефонной компанией справочник, в котором могут быть тысячи, сотни тысяч и даже миллионы строк
и только что начатая Вами новая записная книжка, в которой меньше десяти строк) и столбцов (справочник должностных лиц какой-нибудь
организации, в котором могут быть такие столбцы, как должность и номер кабинета и та же Ваша записная книжка, где
может не быть никаких данных, кроме имени, и, таким образом, в ней только два столбца — имя и телефон).

Всякие матрицы можно складывать и умножать, а также проводить над ними другие операции,
однако нет необходимости складывать и умножать телефонные справочники, от этого нет никакой пользы, к тому
же можно и подвинуться рассудком.

Но очень многие матрицы можно и нужно складывать и перемножать и решать таким образом
различные насущные задачи. Ниже примеры таких матриц.

Матрицы, в которых столбцы — выпуск единиц продукции того или иного вида, а строки
— годы, в которых ведётся учёт выпуска этой продукции:

Можно складывать матрицы такого вида, в которых учтён выпуск аналогичной продукции
различными предприятиями, чтобы получить суммарные данные по отрасли.

Или матрицы, состоящие, к примеру, из одного столбца, в которых строки —
средняя себестоимость того или иного вида продукции:

Матрицы двух последних видов можно умножать, а в результате получится матрица-строка,
содержащая себестоимость всех видов продукции по годам.

Матрицы, основные определения

Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m строках и n столбцах, называется mn-матрицей (или просто матрицей) и записывается так:

       (1)


В матрице (1) числа

называются её элементами (как и в определителе, первый индекс означает номер строки, второй – столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, …, mj = 1, 2,   n).


Матрица называется прямоугольной, если
.


Если же m = n , то матрица называется квадратной, а число n – её порядком.

Определителем квадратной матрицы A называется определитель, элементами которого являются элементы матрицы A . Он обозначается символом |A|.


Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.


Матрицы называются равными, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.


Матрица называется нулевой, если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0 или
.

Например,

,


Матрицей-строкой (или строчной) называется 1n-матрица, а матрицей-столбцом (или столбцовой) – m1-матрица.


Матрица A, которая получается из матрицы
A заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированной
относительно матрицы A. Таким образом, для матрицы (1) транспонированной является матрица

Операция перехода к матрице A,
транспонированной относительно матрицы A, называется транспонированием матрицы A.
Для mn-матрицы транспонированной является nm-матрица.

Транспонированной относительно матрицы

является матрица A, то есть

(A‘)’ = A.

Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 1. Найти матрицу A,
транспонированную относительно матрицы

и выяснить, равны ли определители исходной и транспонированной матриц.

Правильное решение и ответ.


Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными.


Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю.


Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны одному и тому же числу, отличному от нуля, а
все прочие равны нулю, называется скалярной матрицей.


Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичной матрицей третьего порядка является матрица


Пример 2. Даны матрицы:

Установить, какие из них являются неособенными (невырожденными, несингулярными).

Решение. Вычислим определители данных матриц. Пользуясь правилом треугольников, найдём

Определитель матрицы B вычислим по формуле

Легко получаем, что

Следовательно, матрицы A и

– неособенные (невырожденные, несингулярные), а матрица B– особенная (вырожденная, сингулярная).

Определитель единичной матрицы любого порядка, очевидно, равен единице.

Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Даны матрицы

,

,

.

Установить, какие из них являются неособенными (невырожденными, несингулярными).

Правильное решение и ответ.

Применение матриц в математико-экономическом моделировании

В виде матриц просто и удобно записываются структурированные данные о том или ином объекте. Матричные
модели создаются не только для хранения этих структурированных данных, но и для решения различных задач с этими данными
средствами линейной алгебры.

Так, известной матричной моделью экономики является модель «затраты-выпуск», внедрённая американским
экономистом русского происхождения Василием Леонтьевым. Эта модель исходит из предположения, что весь производственный
сектор экономики разбит на n чистых отраслей. Каждая из отраслей выпускает продукцию только одного вида и разные отрасли
выпускают разную продукцию. Из-за такого разделения труда между отраслями существуют межотраслевые связи, смысл которых
состоит в том, что часть продукции каждой отрасли передаётся другим отраслям в качестве ресурса производства.

Объём продукции i-й отрасли (измеряемый определённой единицей измерения), которая была произведена
за отчётный период, обозначается через и
называется полным выпуском i-й отрасли. Выпуски
удобно разместить в n-компонентную строку матрицы.

Количество единиц продукции i-й отрасли, которое необходимо затратить j
отрасли для производства единицы своей продукции, обозначается
и называется коэффициентом прямых затрат.

Коэффициенты прямых затрат ,
среди которых многие могут равняться нулю, удобно записать в nxn матрицу коэффициентов прямых затрат:

Матрица содержит много информации о структуре межотраслевых связей. При этом j
столбец матрицы полностью характеризует затраты j-й отрасли для производства единицы продукции.

Пример 4. На некоторой благоустроенной исследовательской странции в Арктике
действуют три отрасли производства. Первая из них — небольшая электростанция, производящая электроэнергию. Вторая —
установка для производства пресной воды из снега. Третья — хлебопекарня.

Записать в матрицу коэффициентов прямых затрат данные о том, что 0,10 единиц электроэнергии расходуется
для производства одной единицы электроэнергии, 0,40 единиц электроэнергии расходуется для производства одной единицы
пресной воды, 0,30 единиц электроэнергии расходуется для производства одной единицы хлебопродуктов;
0,05 единиц пресной воды расходуется для производства одной единицы электроэнергии, 0 единиц пресной воды расходуется
на производство одной единицы пресной воды, 0,20 единиц пресной воды расходуется на производство одной единицы хлебопродуктов;
затраты же хлебопродуктов на производство всех видов продукции, включая хлебопродукту равны нулю.

Решение. Записываем коэффициенты затрат каждой отрасли в свою строку: электростанции — в первую,
установки для производства пресной воды — во вторую, хлебопекарни — в третью. Получаем искомую матрицу:

Матрицы оказались очень востребованной структурой данных в программировании и вообще
в информационных технологиях. В частности, такие объекты, как графы, в памяти компьютера часто задаются
в форме матриц смежности и матриц инцидентности. Кроме того,
матрицы очень удобны для формализации многих ситуаций в бизнесе и жизни вообще, задачи на которые решаются
в теории игр.

Ссылка на основную публикацию