Найти определитель разложением по строке или столбцу

При нахождении определителей второго, третьего порядка можно пользоваться стандартными формулами (2 — разница произведения диагональных элементов, 3 — правило треугольника). Однако для вычисления определителя четвертого, пятого порядка и старших гораздо быстрее разложить их по элементам строки или столбца, содержащего больше всего нулей и свести к расчету нескольких определителей на единицу меньшего порядка.

Схемы знаков при минорах для детерминантов 3-го — 5-го порядка приведены ниже.

знаки  миноров четвертого порядка

знаки  миноров четвертого порядка

Их не трудно запомнить, если знать следующие правила:
Дополнение к элементам главной диагонали идут со знаком «+», а на параллельных диагоналям чередуются «-», «+», «-», …
Дополнение к элементам нечетных столбцов и строк начинаются с знака «+», а дальше чередуются «-», «+», для парных начинаются со знака «-», а дальше поочередно меняются «+», «-»,…
Вторым правилом пользуется большинство студентов, поскольку оно привязано к столбца или строки по которому осуществляется расписание определителя.

Перейдем к рассмотрению примеров разложения определителя и изучению особенностей этого метода.

Пример 1.

Разложить определитель третьего порядка по элементам первой строки и второго столбца

определитель третьего порядка, пример

Решение.

Проводим разложение определителя по элементам первой строки

вычисления определителя

вычисления определителя

Подобным образом выполняем вычисления разложения по элементам второго столбца

вычисления определителя

вычисления определителя

Оба значения одинаковы, а значит расчеты проведены правильно. Если у Вас получится что определители полученные расписанием по строке и столбцу не совпадают — значит где-то допущена ошибка при вычислениях и нужно перечислить или найти ее.

Пример 2.

Найти определитель четвертого порядка методом разложения

определитель четвертого порядка, пример

Решение.

Проводим разложение по элементам третьей строки (выделена красным) так как в ней больше всего нулевых элементов.

определитель

Определители, входящие в расписание находим по правилу треугольников

вычисления определителя

вычисления определителя

вычисления определителя

Найденные значения подставляем и посчитываем

вычисления определителя

На этом примере метод разложения показал свою эффективность и простоту. Стандартные правила оказались бы слишком громоздкими в вычислениях.

Пример 3.

Найти определитель пятого порядка методом разложения

определитель п'ятого порядка, пример

Решение.

Как и в предыдущем задании ищем строку или столбец содержащие максимальное количество нулевых элементов. Проводим расписание определителя

разложение определителя

Полученный определитель разложим по четвертой строке

разложение определителя

и вычисляем значение

определительопределитель

Подставляем в выходной определитель и находим его

определитель

Метод разложения определителя по элементам строк или столбцов является самым быстрым при исчислении определителей больших размеров. Вместо громоздких и сложных вычислений он сводит отыскания определителя к большому количеству простых операций, которые под силу каждому.

Ссылка на основную публикацию