14. Матрицы и операции над ними*

Далее будем рассматривать квадратные матрицы 2times2 и 3times3 (квадратные таблицы чисел с двумя строками и тремя  столбцами и тремя строками и тремя столбцами). Все, что будет говориться, справедливо и для квадратных матриц порядка n.

Определение. Две матрицы называются равными, если у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах.

Определим сумму двух матриц. Пусть

    [A=left(begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\ a_{31}&a_{32}&a_{33} end{array}right), B=left(begin{array}{ccc} b_{11}&b_{12}&b_{13}\ b_{21}&b_{22}&b_{23}\ b_{31}&b_{32}&b_{33} end{array}right).]

Тогда суммой матриц A и B называется матрица

    [A+B=left(begin{array}{ccc} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\ a_{31}+b_{31}&a_{32}+b_{32}&a_{33}+b_{33} end{array}right),]

произведением матрицы A на вещественное число c — матрица

    [cA=left(begin{array}{ccc} ca_{11}&ca_{12}&ca_{13}\ ca_{21}&ca_{22}&ca_{23}\ ca_{31}&ca_{32}&ca_{33} end{array}right),]

произведением строки A^T=(a_1,a_2,ldots,a_n) на столбец B=left(begin{array}{c} b_1\ b_2\ vdots\ b_n end{array}right) — число

    [a_1b_1+a_2b_2+ldots+a_nb_n,]

произведением матриц A и B — матрица

    [AB=left(begin{array}{ccc} {cal A}_1B_1&{cal A}_1B_2&{cal A}_1B_3\ {cal A}_2B_1&{cal A}_2B_2&{cal A}_2B_3\ {cal A}_3B_1&{cal A}_3B_2&{cal A}_3B_3 end{array}right).]

Здесь {cal A}_jj-я строка матрицы A, B_ii-ый столбец матрицы B.

Свойства операций над матрицами

1. A+B=B+A.
2. (A+B)+C=A+(B+C).
3. Матрица mathbb{O}, состоящая из нулей, играет роль нуля: A+mathbb{O}=A для любой A.
4. Противоположная матрица для матрицы A — матрица -A=(-1)A: A+(-A)=mathbb{O}.
5. (c_1+c_2)A=c_1A+c_2A.
6. c(A_1+A_2)=cA_1+cA_2.
7. c_1(c_2A)=(c_1c_2)A.
8. 1cdot A=A.

Умножение матриц не коммутативно!

    [begin{array}{l} left(begin{array}{cc} 1&2\ 3&4 end{array}right)cdotleft(begin{array}{cc} 1&2\ 5&3 end{array}right)=left(begin{array}{cc} 11&8\ 23&18 end{array}right) \[5mm] left(begin{array}{cc} 1&2\ 5&3 end{array}right)cdotleft(begin{array}{cc} 1&2\ 3&4 end{array}right)=left(begin{array}{cc} 7&10\ 14&22 end{array}right). end{array}]

Свойства умножения матриц

1. (cA)B=A(cB)=cAB.
2. (A_1+A_2)B=A_1B+A_2B.
3. A(B_1+B_2)=AB_1+AB_2.
4. (AB)C=A(BC).

Определение. Единичной матрицей называется матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы — нули:

    [E=left(begin{array}{ccc} 1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1 end{array}right).]

Очевидно, что AE=EA=A.

Задачи.

1. Перемножьте матрицы

    [left(begin{array}{cr} 3&-2\ 5&-4 end{array}right)cdotleft(begin{array}{cc} 3&4\ 2&5 end{array}right) .]

2. Перемножьте матрицы

    [left(begin{array}{crc} 1&-3&2\ 3&-4&1\ 2&-5&3 end{array}right)cdotleft(begin{array}{ccc} 2&5&6\ 1&2&5\ 1&3&2 end{array}right) .]

3. Докажите, что ранг произведения нескольких матриц не более ранга каждой из перемножаемых матриц.

4. Докажите, что если A и B — квадратные матрицы одного и того же порядка, причем ABne BA, то

1) (A+B)^2ne A^2+2AB+B^2;

2) (A+B)(A-B)ne A^2-B^2.

Ссылка на основную публикацию