Схема решения текстовых задач

Текстовые задачи на составление уравнений изучают в 8, 9 классе. Сложные или простые задачи способствуют подготовке школьников к олимпиаде, тестам, вступительным экзаменам.
Среди задач рассмотренных в статье есть задачи на движение, на возраст, о треугольнике, совместную работу.
Цель таких задач — научить Вас составлять уравнения к задаче и решать их.

Схема решения задачи на составление уравнений

Перед решением задач необходимо провести анализ, который выполняется по схеме:

  • Определение величин указанных в условии задачи.
  • Установление зависимости между указанными величинами.
  • Определение главного вопросу задачи.
  • Обоснование выбора неизвестной величины (или величин).
  • Выражение других величин задачи через неизвестную.
  • Составление уравнения к задаче.
  • Решение уравнений.
  • Выяснение удовлетворяют ли найденные корни уравнения условие задачи.
  • Дать ответ на главный вопрос задачи.

Для приобретения необходимого опыта нужно разобрать много задач, изучить алгоритмы составления уравнений, схемы возведения уравнений к простому виду. Для этого рассмотрим простые задачи и по мере изучения темы «Текстовые задачи на составление уравнений» разберем задачи от простых до сложных.

Решения задач на составление уравнений

Задача 1. Турист прошел 20% всего пути. Осталось пройти на 36 км больше чем прошел. Какова длина пути (в км) ?
Решение: В подобных задачах можете выполнять дополнительное графическое построение для понимания условия задачи. Прошел 20% означает, что это 20/100 = 0,2 от всего пути. Осталось пройти на 36 км больше, чем прошел.
Итак весь путь равный
0,2+0,2+36 км=1.
Отсюда (1-0,2-0,2)=0,6 или 60% отвечает за 36 км.
Составляем пропорцию
36 км – 60%
x – 100%.
Перекрестным умножением определяем весь путь
x=36*100/60=36/0,6=60 (км).
Ответ:
Длина пути 60 км.

Задача 2. Турист пришел 1/5 пути. Осталось пройти на 18 км больше чем он прошел. Какова длина пути (в км)?
Решение: Задача на определение пути по схеме вычислений идентична предыдущей задаче.
По условию туристу осталось пройти 1/5 пути +18 км.
Устанавливаем, какая доля пути равна 18 км
1-1/5-1/5=3/5.
Поделив на нее получим длину всего пути
18:3/5=18*5/3=30(км)
Ответ: длина пути 30 км.

Задача 3. Турист прошел 0,3 пути. Осталось пройти на 30 км больше чем он прошел. Какова длина пути (в км)?
Решение: Распишем задачу в объяснениях.
Пусть х — весь путь
0,3*х – прошел
0,3*х+30
км осталось
Вычислим сколько занимает 30 км от всего пути
х-0,3*х-0,3*х=0,4*х.
Из уравнения находим искомое расстояние
0,4*х=18; х=18:0,4=45(км)
Ответ: Длина пути 45 км.

Задача 4. Мать старше дочери в 4 раза. Вместе им 40 лет. Сколько лет дочери?
Решение: Такого рода задач на составление уравнений немало. Алгоритм вычислений следующий.
Пусть дочери х лет, тогда матери 4 * х лет.
По условию составляем уравнение
х+4*х=5*х;
5*х=40.

Отсюда находим возраст девочки
х=40/5=8 (лет)
Ответ: Дочери 8 лет.

Задача 5. Мать старше дочери на 24 года. Вместе им 40 лет. Сколько лет матери?
Решение: Обозначим через Х возраст дочери. Тогда (Х + 24) — возраст матери.
Далее составим уравнение из условия, что сумма лет равна 40.
Х+Х+24=40;
2*Х=40-24=16;
Х=16:2=8 (лет).
Найдем возраст матери
Х+24=8+24=32 (года)
Ответ:
Матери 32 года.

Задача 6. Цену товара увеличили на 53%. Во сколько раз стал дороже товар?
Решение: Начальная цена товара составляет 100%. Увеличили на 53% означает
100%+53%=153%.
Далее вычисляем отношение образованной цены к начальной
153%/100%=1,53(раза)

Ответ: Товар стал дороже в1,53 раза.

Задача 7. Отец старше сына в 2 раза. Сколько лет сыну если отец старше на 18 лет?
Решение: Пусть сыну Х лет. Тогда отцу по условию лет.
Старший на 18 лет означает, что разница лет равна 18.
В наших обозначениях условие равносильно уравнению
2*Х-Х=Х=18 лет.
Ответ: сыну 18 лет.

Задача 8. Отец старше сына в 5 раз. Сколько лет отцу если он старше сына на 20 лет?
Решение: Пусть сыну Х лет отцу
Х*5=5*Х лет

Из-за разницы составляем уравнения возраста
5*Х-Х=20;
4*Х=20.

Находим возраст сына
Х=20:4=5 лет
дальше возраст отца
5*Х=5*5=25 (лет).

Ответ: Отцу 25 лет.

Задача 9. Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 2: 1. Сколько градусов имеет меньший острый угол?
Решение: Здесь нужно знать что сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Один из углов прямой, поэтому на два других приходится
180-90=90 градусов.
Обозначим меньший угол через Х, тогда другой 2Х.
составим уравнение
2*Х+Х=900;
3*Х=900;
Х=900/3=300

Ответ: Острый угол треугольника имеет 300.

Задача 10. Стороны треугольника относятся как 2: 3: 4. Вычислить длину большей стороны если его периметр равен 180.
Решение: Согласно условию обозначим стороны треугольника — 2*Х; 3*Х; 4*Х.
Далее составляем уравнение относительно неизвестной и решаем его
2*Х+3*Х+4*Х=180;
9*Х=180;
Х=180/9=20.

Находим большую сторону треугольника
4*Х=4*20=80 (единиц).
Ответ: Длина стороны 80.

Задача 11. Углы треугольника относятся как 1: 3: 6. Сколько градусов имеет средний угол?
Решение: Вводим обозначения углов согласно их пропорции Х: 3*Х: 6*Х.
Составляем уравнение
Х+3*Х+6*Х=1800;
10*Х=1800;
Х=1800/10=180.

Находим меру среднего угла
3*Х=18*3=540;

Ответ: Искомый угол треугольника равен 54 градуса.

Задача 12. За два дня обработали 160 га пшеницы, причем в первый день обработали на 36 га больше чем второго. Сколько гектаров обработали второго дня?
Решение: Обозначим Х — площадь, которую обработали пшеницы второго дня.
По условию Х + 36 га — в первый день.
составляем уравнение
Х+Х+36=160;
2*Х=160-36=124;
Х=124/2=62 (га).

Ответ: Во второй день обработали 62 га пшеницы.

Задача 13. За два дня обработали 140 га пшеницы, причем в первый день обработали на 30 га больше чем второго. Сколько гектаров обработали первого дня?
Решение: Обозначаем Х га — обработали второго дня Х + 30 га — в первый день.
записываем уравнение
Х+Х+30= 140(га;)
2*Х=140-30=110 (га)
Х=110/2=55(га).

Найдем площадь обработки первого дня
55+30=85 (га).
Ответ: В первый день обработали 85 га пшеницы.

Задача 14. Два рабочие изготовили вместе 84 детали, работая 7 дней. Сколько деталей в день изготавливал первый рабочий если второй изготавливал за день на 2 детали меньше?
Решение:Обозначим через Х количество деталей, которое производит первый рабочий. Тогда второй изготовляет — Х-2 деталей.
Составляем уравнение
(Х+Х-2)*7=84.
Думаю здесь Вам все понятно, мы умножили производительности рабочих за день на количество дней.
(2*Х-2)*7=84;
2*Х-2=84/7=12;
2*Х=12+2=14;
Х=14/2=7(деталей).

Ответ: Первый рабочий производит 7 деталей.

Задача 15. Сумма двух чисел равна 12, а их разность равна 4. Найти больше из чисел.
Решение: Обозначим числа через а и b. По условию задачи составляем уравнение.
а+b=12;
а-b=4
.
Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Добавим к 1 уравнение 2, таким образом обнулим переменную b
2а=12+4=16;
а=16/2=8;
b=12-a=12-8=4.

Ответ: большее число равно 8.

Ссылка на основную публикацию