Новая задача 19 Профильного ЕГЭ по математике (числа и их свойства), восток

Задача 19 Профильного ЕГЭ по математике (числа и их свойства)
Это новая, непростая задача 19. Вам удалось ее решить? Публикуем наше решение!

У Вовы есть набор из n грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.
а) Может ли у Вовы быть ровно 6 грузиков, среди которых есть грузик массой 5 г?
б) Может ли у Вовы быть ровно 5 грузиков?
в) Известно, что среди грузиков Вовы есть грузик массой 1 г. Какую наименьшую массу может иметь самый тяжелый грузик Вовы?

а) Да, может. Набор грузов массами 3, 4, 5, 6, 7, 8 подходит.
Пары грузов 3+4, 3+5 уравновешиваются грузами 7 и 8.
Пары 3+6 и 4+5, 3+7 и 4+6, 3+8, 4+7 и 5+6, 4+8 и 5+7 уравновешивают друг друга.
Пара 5+8 уравновесится парой грузов 6+7.
Пара 6+8 уравновесится тройкой 3+7+4.
Пара 7+8 – тройкой 5+6+4.

б) Сколько всего грузиков может быть? Расположим их массы в порядке возрастания:
a c и e > c, а масса двух легких не превышает b + c и меньше 2с. Значит, d + e = a + b + c.
Два самых легких грузика a и b можно уравновесить только одним из тяжелых, поскольку
a + b c и e > c,
или d + e = d + c, но тогда е = с, и это противоречие с условием, массы грузов различны.
Или же d + e = е + c, но тогда d = с – снова противоречие.
Значит, и 5 грузиков не может быть.

в) Пусть среди грузиков Вовы есть один массой 1 г.
В пункте (б) доказано, что 3, 4 или 5 грузов у Вовы быть не может, то есть число грузов больше или равно 6.
Пример для 6 грузов получен в пункте (а). Правда, в нем не было грузика массой 1 грамм. В наборе 3, 4, 5, 6, 7, 8 самый тяжелый груз имеет массу 8 граммов. Может быть, мы подберем набор из 6 грузов, где самый тяжелый весит 6 граммов?
Поскольку a, b, c, d, e, f – массы грузов – натуральные числа, причем различные,
a ≥ 1, b ≥ 2… f ≥ 6.
Возьмем набор 1, 2, 3, 4, 5, 6. Но уравновесить самые тяжелые грузы не получается – поскольку
5 +6 = 11, а 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Значит, масса самого тяжелого груза не меньше 7 грамм.
Возьмем набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
По сравнению с пунктом (а), в нем добавились новые пары грузов. И все их можно уравновесить:
1 + 7 = 3+ 5;
2 + 7 = 3 + 6;
4 + 7 = 5 + 6;
5 + 7 = 2 + 4 + 6;
6 + 7 = 1 + 3 + 4 + 5.
Мы нашли набор, где масса самого тяжелого груза равна 7 грамм.
Ответ: 7.

Ссылка на основную публикацию