Экзамены, тесты по математике. Решение иррациональных уравнений

Уважаемые школьники, выпускники, абитуриенты, этот раздел поможет подготовиться к экзаменам, тестам, внешнему независимому тестированию по математике в 2015 году. Ответы к тестам помогут Вам понять материал и методику вычислений, систематизировать и повысить накопленный уровень знаний по математике. Решение примеров будут интересны для школьников 9, 10, 11 классов, а так же их родителей.

Раздел II. Уравнения и неравенства

Задача 2.40 Решите уравнение:
иррациональное уравнение
Решение: Метод раскрытия иррациональности достаточно длинный и Вы им вряд ли воспользуетесь при тестировании. Проще получить решение уравнения с анализа функций. С виду видим, что если от первой подкорневой функции отнять вторую то в результате получим квадратичную зависимость, которая стоит за знаком равенства. Кроме этого, из логических соображений корни всегда положительные, а функция после знаку равенства уже при x> 4 становится отрицательной. Если анализировать графики функций, то в корнях стоят параболы с ветвями вверх, а после знаку равенства парабола с ветками вниз. Также корни, как правило, должны содержать квадраты чисел, так как сумма подкоренных выражений должна быть целым числом.
Выполним поиск решения подстановкой.
В 0 уравнение превращается в следующее

Далее проверяем единицу

Как видите, левая часть уравнения убывает, а правая возрастает — значит где то должна быть равновесная точка. Проверим двойку

Итак x=2 является решением уравнения. Графики функций приведены ниже

график функции
Ответ: 2.

Задача 2.41 Решите иррациональное уравнение иррациональное уравнение и запишите в ответе наименьший корень.
Решение: Имеем иррациональное уравнение, причем справа в корнях стоят параболы с ветвями вверх, а слева — парабола с опущенными ветвями. Сечением может быть от 0 до 2 точек. Из того, что корни принимают положительные значения ограничим область определения
15-x20;
x2<15.
x^2>5.

Итак корень уравнения должен принадлежать интервалами

Также стоит заметить, что везде есть парные функции, то есть корни симметрично размещены относительно начала координат. Выполним проверку крайнего целого числа


Так что один корень равен 3, тогда второй — (-3). График функций приведен ниже

график функции

По условию записываем наименьший корень из найденных.
Ответ: -3.

Задача 2.42 Решите уравнение
иррациональное уравнение
Решение: Уравнение сложное только на вид. В числителе спрaва и слева от знака равенства стоят одинаковые корни, которые можно расписать в виде простых множителей
(x+2)(x-1).
Кроме того знаменатели различны, а это значит, что равенство выполняется когда числитель равен нулю или равные пропорции в уравнениях. Получаем две точки
x=-2; x=1.
Одну из них -2 — отбрасываем, поскольку она нулем знаменателю.
Остается одно решение уравнения x=1.
Ответ: 1.
Оставайтесь с нами и подготовка к ВНО 2015 по математике останется для Вас приятным воспоминанием и сэкономит много времени и денег на репетиторов. Помощь по математике в виде готовых решений облегчит учебу всех школьников и будет хорошей инструкцией на экзаменах и тестах.

Ссылка на основную публикацию