Комплексное число в степени, корень из комплексного числа

  • Возведение комплексного числа в степень
  • Извлечение корня из комплексного числа

Возведение комплексного числа в степень

Если комплексное число задано в алгебраической форме, то для возведения
числа в степень
n достаточно применить к к выражению
формулу бинома Ньютона:

Пример 1. Возвести комплексное число
в степень 3.

Решение. Применяя формулу бинома Ньютона, получаем:

Если комплексное число задано в тригонометрической форме, то для возведения
его в степень используется формула Муавра:

,

т. е. при возведении комплексного числа в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент
умножается на показатель степени.

Пример 2. Возвести комплексное число
в степень 4.

Решение. По формуле Муавра получаем:

Извлечение корня из комплексного числа

Извлечение корня из комплексного числа — не однозначное действие. У корня
n-й степени из комплексного числа, отличной от нуля, существуют n различных значений,
которые вычисляются по формуле

,

где k=0, 1, 2, …, n-1.

Пример 3. Извлечь корень 3-й степени из комплексного числа
.

Решение. По приведённой в теоретической части формуле получаем:

Все 3 значения корней будут следующими:

;

;

.

Пример 4. Извлечь квадратный корень из комплексного числа
i.

Решение. По приведённой в теоретической части формуле получаем:

Все 2 значения корней будут следующими:

;

;

Ссылка на основную публикацию