Поток векторного поля: теория и примеры

  • Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла
  • Направление и интенсивность потока векторного поля
  • Вычисление потока векторного поля: примеры

Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла

Своим названием поток векторного поля обязан задачам
гидродинамики о потоке жидкости. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного
интеграла
, который выражает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую
поверхность в направлении вектора скорости течения жидкости в данной точке. Понятие потока векторного поля
обобщается также на магнетический поток, поток электричества, поток тепла через заданную поверхность и
другие. Поток векторного поля может быть
вычислен в виде поверхностного интеграла как первого, так и
второго рода и далее мы дадим его вывод через эти интегралы.

Пусть в некоторой области пространства задано векторное поле

и поверхность σ, в каждой точке M которой определён единичный
вектор нормали . Пусть также
направляющие косинусы этого вектора — непрерывные функции координат x, y, z
точки M.

Определение потока векторного поля. Потоком W поля вектора
через поверхность σ называется поверхностный интеграл

или

.

Обозначим как an
проекцию вектора на
на единичный вектор .
Тогда поток можем записать как поверхностный интеграл первого рода

.

По формуле скалярного произведения векторов

.

Учитывая, что

поток векторного поля можно вычислить и как поверхностный интеграл второго рода

.

Направление и интенсивность потока векторного поля

Поток векторного поля зависит от местоположения поверхности σ. Если
поверхность размещена так, что во всех её точках вектор поля
образует с вектором нормали поверхности острый угол, то проекции вектора an
положительны и, таким образом поток W также положителен (рисунок ниже). Если же поверхность размещена так, что
во всех её точках вектор
образует с вектором нормали поверхности тупой угол, то поток W отрицателен.

Рисунок, иллюстрирующий положительный и отрицательный потоки векторного поля

Через каждую точку поверхности проходит одна векторная линия, поэтому поверхность
σ пересекает бесконечное множество векторных линий. Однако условно можно принять, что поверхность
σ пересекает некоторое конечное число векторных линий. Поэтому можно считать, что поток векторного
поля — это число векторных линий, пересекающих поверхность σ. Чем интенсивнее поток векторного
поля, тем более плотно расположены векторные линии и в результате получается бОльший поток жидкости.

Если поток векторного поля — поле скорости
частиц текущей жидкости через поверхность σ, то поверхностный интеграл
равен количеству жидкости,
протекающей в единицу времени через поверхность σ. Если рассматривать магнетическое поле, которое
характеризуется вектором магнетической индукции ,
то поверхностный интеграл
называется магнетическим потоком через поверхность σ и равен общему количеству линий магнетической
индукции, пересекающих поверхность σ. В случае электростатического поля интеграл
выражает число линий
электрической силы, пересекающих поверхность σ. Этот интеграл называется потоком вектора
интенсивности электростатического поля
через поверхнсть σ. В теории теплопроводности рассматривается стационарный поток тепла через
поверхность σ. Если k — коэффициент теплопроводности, а u(M) —
температура в данной области, то поток тепла, протекающего через поверхность σ в единицу времени,
определяет интеграл .

Вычисление потока векторного поля: примеры

Пример 1. Вычислить поток векторного поля
через верхнюю сторону
треугольника, образованного пересечением плоскости
с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода;
2) через поверхностный интеграл второго рода.

Решение.

1) Поверхностью σ является треугольник
ABC, а её проекцией на ось
xOy — треугольник AOB.

Координатами вектора нормали данной поверхности являются коэффициенты при переменных
в уравнении плоскости:

.

Длина вектора нормали:

.

Единичный вектор нормали:

.

Таким образом,

Из выражения единичного вектора нормали следует, что направляющий косинус
. Тогда
.

Теперь можем выразить поток векторного поля в виде поверхностного интеграла первого
рода и начать решать его:

Выразим переменную «зет»:

Продолжаем вычислять интеграл и, таким образом, поток векторного поля:

Получили ответ: поток векторного поля равен 64.

2) Выражая поток векторного поля через поверхностный интеграл второго рода, получаем

.

Представим этот интеграл в виде суммы трёх интегралов и каждый вычислим отдельно.
Учитывая, что проекция поверхности на ось yOz является треугольник
OCB, который ограничивают прямые
y = 0, z = 0,
y + 3z = 6 или
y = 6 − 3z и в точках поверхности
2x = 6 − y − 3,
получаем первый интеграл и вычисляем его:

Проекцией поверхности на ось xOz является треугольник
OAC, который ограничен прямыми
x = 0, z = 0,
2x + 3z = 6 или
. По этим данным получаем
второй интеграл, который сразу решаем:

Проекцией поверхности на ось xOy является треугольник
OAB, который ограничен прямыми
x = 0, y = 0,
2x + y = 6. Получаем третий интеграл и
решаем его:

Осталось только сложить все три интеграла:

.

Получили ответ: поток векторного поля равен 64. Как видим, он совпадает с ответом,
полученным в первом случае.

Пример 2. Вычислить поток векторного поля
через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости
с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода;
2) через поверхностный интеграл второго рода.

Решение. Данная поверхность представляет собой треугольник ABC,
изображённый на рисунке ниже.

1) Коэффициенты при x, y
и z из уравнения плоскости являются координатами вектора нормали
плоскости, которые нужно взять с противоположным знаком (так как вектор нормали верхней стороны
треугольника образует с осью Oz острый угол, так что третья координата
вектора нормали плоскости должна быть положительной). Таким образом, вектор нормали запишется в координатах
так:

.

Длина этого вектора:

,

единичный вектор нормали (орт):

.

Скалярное произведение векторного поля и единичного нормального вектора:

Поток векторного поля, таким образом, представим в виде поверхностного интеграла
первого рода

.

Выразим «зет» и продифференцируем то, что уже можно продифференцировать:

Вычисляем интеграл:

2) Представим поток векторного поля в виде поверхностного интеграла второго рода:

.

Первый и второй интегралы берём со знаком «минус», так как вектор нормали поверхности
образует с осями Ox и Oy
тупой угол.

Вычисляем первый интеграл:

Вычисляем второй интеграл:

Вычисляем третий интеграл:

Складываем три интеграла и получаем тот же самый результат:

.

Пример 3. Вычислить поток векторного поля
через внешнюю сторону
параболоида в первом октанте,
отсечённую плоскостью z = 9.

Поток векторного поля представим в виде поверхностного интеграла второго рода:

Второй интеграл берём со знаком минус, так как нормальный вектор поверхности образует
с осью Oz тупой угол. Вычисляем первый интеграл:

Вычисляем второй интеграл:

В сумме получаем искомый поток векторного поля:

.

Поделиться с друзьями

Ссылка на основную публикацию