Понятие, алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексные числа вводятся в связи с тем, что действительных чисел
недостаточно, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами.
Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел, есть

 + 1 = 0.

Задача такова: нужно расширить систему действительных чисел до
такой системы чисел, в которой это уравнение обладало бы корнем.

Решение:  = — 1,
x =√-1,

где √-1 — квадратный корень
из минус единицы — мнимая единица, обозначаемая буквой i.

Продвинемся ещё на шаг к алгебрической форме записи комплексных чисел.
Квадратное уравнение

имеет корни и
, где
i = √-1 — квадратный корень
из минус единицы.

Таким образом, у комплексных чисел есть действительная и мнимая части.
В алгебраической записи комплексного числа z = x + iy есть
действительная часть x и мнимая часть iy.

В литературе часто встречается обобщённая алгебраическая форма
комплексного числа с другими буквами: z = a + bi.
Здесь же дана запись z = x + iy
только для того, чтобы было более понятно отображение комплексного числа в привычной
системе координат с осями x и
y.

Отображая на плоскости горизонтальную ось x как
ось действительных чисел, а вертикальную ось y
как ось мнимых чисел, можно любое комплексное число z = x + iy
отобразить как точку P
в декартовой системе координат (рисунок ниже).

Поэтому возможна и запись комплексного числа в тригонометрической форме:

,

где
модуль комплексного числа,
(аргумент комплексного числа) — угол, который радиус-вектор

образует с осью Ox. Теперь мы видим, что более подходящим
является сравнение записи комплексного числа в тригонометрической форме с отображением точки в
полярной системе координат.

Обобщим ещё раз понятие модуля и аргумента комплексного числа.
Модуль комплексного числа — это расстояние от начала координат до точки, в виде которой
отображается комплексного числа или, что то же самое — длина радиус-вектора
.
Аргумент комплексного числа — это угол, который радиус-вектор
образует с осью Ox.

Теперь о том, как перейти от алгебраической формы комплексного числа
к тригонометрической. Доказано, что

и

.

Поэтому можем легко найти косинус и синус аргумента комплексного числа:

,
.

Пример 1. Найти тригонометрическую форму числа
.

Решение. Сначала найдём модуль комплексного числа. Для этого в соответствии с
обобщенной записью числа z = a + bi запишем
данное число как z = 1 + 1i,
где a = 1 и b = 1.
Из этого получаем модуль данного числа — квадратный корень из 1 + 1 = 2, что равно
. Чтобы
определить аргумент числа, учтём, что и
.
То есть, значение угла
равно .
Поэтому получаем тригонометрическую форму данного комплексного числа:

.

Пример 2. Найти тригонометрическую форму комплексного числа 1.

Возможны возражения: 1 — это же обычное, точнее, действительное число.
Это так. Но это число можно представить и как комплексное число , то есть,
комплексное число, в котором a = 1 и b = 0.

Решение. Модуль данного числа
. Чтобы
определить аргумент числа, найдём и
.
Следовательно, аргумент комплексного числа .
Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:

.

Пример 3. Найти тригонометрическую форму
комплексного числа .

Решение. Модуль данного числа
. Чтобы
определить аргумент числа, найдём и
.
Для нахождения угла с таким косинусом и таким синусом повернём воображаемый циркуль
от угла 0 до
и ещё на .
Получаем .
Следовательно, аргумент комплексного числа .
Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:

.

Пример 4. Найти тригонометрическую форму
комплексного числа .

Решение. Модуль данного числа
. Чтобы
определить аргумент числа, найдём и
.
Аргумент, то есть угол, у которого найденный косинус и найденный синус,
определяется однозначно: .
Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:

.

Пример 5. Найти тригонометрическую форму
комплексного числа -3.

Решение. Модуль данного числа
. Чтобы
определить аргумент числа, найдём и
.
Аргумент, то есть угол, у которого найденный косинус и найденный синус,
определяется однозначно: .
Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:

.

Пример 6. Найти тригонометрическую форму
комплексного числа .

Решение. Модуль данного числа
. Чтобы
определить аргумент числа, найдём и
.
Чтобы найти угол, у которого найденный косинус и найденный синус,
отвыкшим от школьных лет и тригонометрии, возможно, придётся чуть побольше попыхтеть, вращая
воображаемый циркуль по координатной плоскости. Вот они, шаги вычисления угла:
поворачиваем циркуль на , затем
на и на
Получаем
.
Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:

.

Пример 7. Найти тригонометрическую форму
комплексного числа .

Решение. Модуль данного числа
. Чтобы
определить аргумент числа, найдём и
.
Шаги вычисления угла, то есть аргумента:
поворачиваем циркуль на , затем
на и на
Получаем
.
Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:

.

Ссылка на основную публикацию