Модуль в модуле. Графический метод

Распространенными примерами с модулями является уравнение типа модуль в модуле. Двойной модуль можно записать в виде формулы
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Если k=0 то такое уравнение с модулем легче решать графическим методом. Классическое раскрытия модулей в таких ситуациях громоздкое и не дает желаемого эффекта (экономии времени) на контрольных и тестах. Графический метод позволяет за короткое время выполнить построение модульных функций и найти количество корней уравнения.

Алгоритм построения двойного, тройного модуля достаточно прост и из приведенных ниже примеров понравится многим. Для закрепления методики внизу приведены примеры для самостоятельного вычисления.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле ||x-3|-5|=3.
Решение: Решим уравнение с модулями классическим методом и графически. Найдем ноль внутреннего модуля
x-3=0 x=3.
В точке x=3 уравнения с модулем разделяется на 2. Кроме того, ноль внутреннего модуля является точкой симметрии графика модулей и если правая сторона уравнения равна постоянной, то корни лежат на одинаковом расстоянии от этой точки. То есть можно решить одно уравнение из двух, а остальные корней вычислить из этого условия.
Раскроем внутренний модуль для x>3
|x-3-5|=3; |x-8|=3
.
Полученное уравнение при раскрытии модуля делится на 2
Под модульная функция >0
x-8=3; x=3+8=11;
и для значений < 0 получим
-(x-8)=3; x=8-3=5.
Оба корня уравнения удовлетворяют условию x>3, то есть являются решениями.
Учитывая записано выше правило симметрии решений уравнения с модулями, можно не искать корни уравнения для x< 3, которое имеет вид
|-(x-3)-5|=3; |-x-2|=3,
а вычислить их.
Значение симметрично относительно x=3 для x=11 равно
x=3-(11-3)=6-11=-5.
По той же формуле находим второе решение
x=3-(5-3)=6-5=1.
Заданное уравнение модуля в модуле имеет 4 решения
x=-5; x=1; x=5; x=11.
Теперь найдем решения уравнения с модулями графическим методом. С внутреннего модуля |x-3| следует что график стандартной модуль функции является смещен по оси Ох вправо на 3.
Дальше — отнять 5 означает что график необходимо опустить на 5 клеток по оси Oy. Чтобы получить модуль полученной функции симметрично отражаем все что находится ниже оси Ox.
И напоследок выполняем построение прямой y=3, параллельной оси Ox. Лучше всего для вычислений уравнений с модулями графически использовать тетрадь в клеточку, поскольку в ней удобно строить графики.
Окончательный вид графика модулей имеет вид
модульные уравнения

Точки пересечения модуль функции и прямой y=3 и является искомыми решениями x=-5;x=1; x=5;x=11.

Преимущество графического метода над раскрытием модулей для простых уравнений очевидно. Однако графически неудобно искать корни когда правая сторона имеет вид k*x+m, то есть является прямой наклоненной к оси абсцисс под углом.
Здесь таких уравнений рассматривать не будем.

 

Пример 2. Сколько корней имеет уравнение ||2x-3|-2|=2?
Решение: Правая сторона равна постоянной, поэтому скорее найти решение можно графическим методом. Внутренний модуль обращается в нуль
|2x-3|=0 x=3/2=1,5

в точке x=1,5.
Значит в эту точку смещаем график функции y=|2x|. Для того, чтобы его построить подставьте несколько точек и проведите через них прямые. От полученной функции вычитаем 2 то есть график опускаем на двойку вниз и, чтобы получить модуль переносим отрицательные значения (y< 0) симметрично относительно оси Ox.

Далее остается построить правую сторону (прямую y=2) и подсчитать количество точек пересечения. График модуль функции и прямой приведен ниже

модульные уравнения

Видим, что заданное уравнение имеет три решения.

 

Пример 3. При каком значении параметра a уравнение с модулем |||x+1|-2|-5|=a имеет 5 решений?
Решение: Имеем уравнение с тремя вложенными модулями. Найдем ответ с графического анализа. Начнем, как всегда, из внутреннего модуля. Он обращается в нуль
|x+1|=0 x=-1
в точке x=-1.
Строим график модуль функции в этой точке

модульные уравнения

Далее график опускаем вниз на двойку и отрицательные значения (y< 0) симметрично переносим вверх. Получим график функции
y=||x+1|-2|

двойной модуль

Повторно выполним смещение графика модуль функции вниз на 5 и симметрично переносим отрицательные значения функции. В результате получим левую сторону уравнения с модулями
y=|||x+1|-2|-5|
.

тройной модуль

Параметр а соответствует значению параллельной прямой, которая должна пересечь график модуль функции в 5 точках. Сначала проводим такую прямую, далее ищем точку пересечения ее с осью Oy.
Это прямая y=3, то есть искомый параметр равен a=3.
Методом раскрытия модулей данную задачу можно было решать целый урок, если не больше. Здесь все свелось к нескольким графикам.
Ответ: a=3.

 

Пример 4. Сколько решений имеет уравнение |||3x-3|-2|-7|=x+5 ?
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-3|=0 <=> x=3/3=1.
Строим график функции y=|3x-3|. Для этого на одну клетки изменения x от найденной точки добавляем 3 клетки по y. Выполняйте построение корней уравнения в тетради в клеточку, а я расскажу как это можно сделать в среде Maple.

restart;with(plots): Приравниваем к нулю все переменные и подключаем модуль для работы с графикой.

Далее строим график внутреннего модуля. Значение x = -2..4 указывают в каких пределах переменной выполнить построение.

> plot(abs(3*x-3),x=-2..4):

модуль функция

Далее опускаем график на 2 клетки вниз и симметрично оси Ox переносим отрицательные значения (y <0).
Получим график двух внутренних модулей Полученный график опускаем на двойку и симметрично отражаем. получим график
y=||3x-3|-2|.
В математическом пакете мейпл это равносильно записи еще одного модуля
> plot(abs(abs(3*x-3)-2),x=-2..4):

двойной модуль

Повторно смещаем график вниз на семь единиц и симметрично переносим. Получим график функции
y=|||3x-3|-2|-7|

модуль в модуле
В Мэйпл это равносильно следующей ленте кода
> plot(abs(abs(abs(3*x-3)-2)-7),x=-5..7):
Строим прямую y=x+5 по двум точкам. Первая — пересечение прямой с осью абсцисс

у=0: x+5=0;x=-5 (-5;0)
Вторая — оси ординат
х=0: y=0+5=5 (0;5).
Через найденные точки проводим прямую.
В Мэйпл используем функции отображения нескольких графиков display.
Для этого дадим название изображенному выше графику модуль функции.
> q1:=plot(abs(abs(abs(3*x-3)-2)-7),x=-5..9):
Далее выполним построение правой части уравнения — прямой y=x+5.
> q2:=plot(x+5,x=-5..10,color=blue):
свойство color отвечает за цвет кривых на графике, еще Вам порой может понадобиться thickness = 2; 3 — это толщина линий.
Наконец строки стоит ставить знак «:» а не «,» чтобы не выводить лишнего кода.
Ну и в конце отражаем два графика
> display(q1,q2);
Результатом будет следующий рисунок.

уравнения с модулями

Отсюда видим, что модуль с прямой имеет 6 точек пересечения, следовательно есть 6 решений уравнения.

В мейпл есть возможность решить это уравнение с помощью команды solve

solve(abs(abs(abs(3*x-3)-2)-7)=x+5,x);

В результате получим точки пересечения прямой и модуль функции

-11/4, 3/4, 7/4, 17/2, 3/2, -1/2

Для закрепления материала решите самостоятельно приведенные ниже уравнения с модулями.

Равнение на модуль в модуле:

  • |||2x-3|-4|-7|=3;
  • |||x+2|-3|-1|=1;
  • |||x+3|-1|-4|=3;
  • ||2x+3|-5|=3;
  • ||5x-4|-4|=3;
  • ||x-7|-2|=1.
Ссылка на основную публикацию