Модуль числа и уравнения с модулем — тема особенная, прямо-таки заколдованная 🙂 Она совсем не сложная, просто в школе её редко объясняют нормально. В результате без специальной подготовки почти никто из школьников не может дать правильное определение модуля и тем более решить уравнение с модулем. И эту картину мы наблюдаем на протяжении многих лет.
Поэтому осваивайте тему «Уравнения и неравенства с модулем» по нашим статьям и на наших занятиях! Вы сумеете обойти множество конкурентов на ЕГЭ, олимпиадах и вступительных экзаменах.
Модуль числа называют ещё абсолютной величиной этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. В записи положительного числа и так нет. никакого знака, поэтому модуль положительного числа равен ему самому. Например, 
Модуль нуля равен нулю. А модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному
(без знака!). Например, 
Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: 
Определение модуля
Вот оно:
От большинства известных из школы определений оно отличается лишь одним: в нём есть выбор. Есть условие. И в зависимости от этого условия мы раскрываем модуль либо так, либо иначе.
Так же, как в информатике — в разветвляющихся алгоритмах с применением условных операторов. Как, вообще-то, и в жизни: сдал ЕГЭ на минимальный балл — можешь подавать документы в ВУЗ. Не сдал на минимальный балл — можешь идти в армию 🙂
Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы раскрываем модуль по определению. Например,
В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например, 
так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых x и y. Или: 
так так как выражение под модулем неположительно при любых z.
Геометрическая интерпретация модуля
Нарисуем числовую прямую. Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Например, 
То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Эта геометрическая интерпретация очень полезна для решения уравнений и неравенств с модулем.
Рассмотрим простейшее уравнение 
. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и −3. Значит, у уравнения 
есть два решения: x = 3 и x = −3.
Вообще, если имеются два числа a и b, то 
равно расстоянию между ними на числовой прямой.
(В связи с этим нередко встречается обозначение 
длины отрезка AB, то есть расстояния от точки A до точки B.)
Ясно, что 
(расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a).
Решим уравнение 
. Эту запись можно прочитать так: расстояние от точки x до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Мы видим, что наше уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы решили его самым простым способом — без использования определения модуля.
Перейдём к неравенствам. Решим неравенство 
.
Эту запись можно прочитать так: «расстояние от точки x до точки −7 меньше четырёх». Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Ответ: (-11; -3).
Другой пример. Решим неравенство |10 − x| ≥ 7.
Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.
Ответ:
График функции 
Этот график надо знать обязательно. Для 
имеем y = x. Для 
имеем y = −x. В результате получаем:
С помощью этого графика также можно решать уравнения и неравенства.
Корень из квадрата
Нередко в задачах ЕГЭ требуется вычислить 
, где 
Действительно, по определению арифметического квадратного корня 
— это такое неотрицательное число, квадрат которого равен 
. Оно равно 
и 
, т. е. как раз 
.
Примеры заданий ЕГЭ
1. Найдите значение выражения 
при 
.
Заметим, что 
при 
. Следовательно, значение нашего выражения равно: 
.
2. Найдите значение выражения 
при 
.
Действуем аналогично:
В следующей статье мы рассмотрим более сложные уравнения и неравенства с модулем.
Читайте также: Уравнения с модулем
Загрузка...
