Метод интервалов — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

1. Рассмотрим, например, такое неравенство

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle x^2+2x-3}{displaystyle left( x-7 right)left( x+5 right)} geqslant 0

Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.

В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. (Если вы не помните, что такое нули функции и знак функции на промежутке – смотрите статью «Исследование графика функции»).

Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида  ax^2+bx+c.

ax^2+bx+c=aleft( x-x_1 right)left( x-x_2 right), где x_1 и x_2 — корни квадратного уравнения ax^2+bx+c=0.

Получим:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle left( x-1 right)left( x+3 right)}{displaystyle left( x-7 right)left( x+5 right)} geqslant 0

Рисуем ось X и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Нули знаменателя -5 и 7 — выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя -3 и 1 — закрашены, так как неравенство нестрогое. При x=-3 и x=1 наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось X на 5 промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
1) x<-5. Возьмем, например, x=-10 и проверим знак выражения genfrac{}{}{}{0}{displaystyle left( x-1 right)left( x+3 right)}{displaystyle left( x-7 right)left( x+5 right)} в левой части неравенства. Каждая из «скобок» отрицательная. Левая часть имеет знак left( + right).

2) Следующий промежуток: -5<x<-3. Проверим знак при x=-4. Получаем, что левая часть поменяла знак на left( - right).

3) -3<x<1. Возьмем x=0. При x=0 выражение положительно — следовательно, оно положительно на всем промежутке от -3 до 1.

4) При 1<x<7 левая часть неравенства отрицательна. 

5) И, наконец, x>7. Подставим x=10 и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая «скобочка» положительна. Следовательно, левая часть имеет знак left( + right).

Мы нашли, на каких промежутках выражение genfrac{}{}{}{0}{displaystyle left( x-1 right)left( x+3 right)}{displaystyle left( x-7 right)left( x+5 right)} положительно. Осталось записать ответ:

Ответ: left( -infty ;-5 right)cup left[ -3 ;1 right]cup left( 7 ;+ infty right).

Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным.

Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle Pleft( x right)}{displaystyle Qleft( x right)} geqslant 0, или genfrac{}{}{}{0}{displaystyle Pleft( x right)}{displaystyle Qleft( x right)} > 0, или genfrac{}{}{}{0}{displaystyle Pleft( x right)}{displaystyle Qleft( x right)} leqslant 0, или genfrac{}{}{}{0}{displaystyle Pleft( x right)}{displaystyle Qleft( x right)} < 0.

(в левой части — дробно-рациональная функция, в правой — нуль).

Затем — отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения genfrac{}{}{}{0}{displaystyle Pleft( x right)}{displaystyle Qleft( x right)} в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого — записываем ответ. Вот и всё.

Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

2. Рассмотрим еще одно неравенство.

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle left( x-2 right)^2}{displaystyle left( x-1 right)left( x-3 right)}>0

Снова расставляем точки на оси X. Точки 1 и 3 — выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка 2 — тоже выколота, поскольку неравенство строгое.

При x<1 числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, x=0. Левая часть имеет знак left( + right):

При 1<x<2 числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак left( - right):

При 2<x<3 ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак left( - right):

Наконец, при x>3 все множители положительны, и левая часть имеет знак left( + right):

Ответ: left( -infty ;1 right)cup left( 3 ;+ infty right).

Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку 2 «ответственный» за неё множитель left( x-2 right)^2 не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

Вывод: если линейный множитель (x-c) стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку x=c знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle left( x-2 right)^2}{displaystyle left( x-1 right)left( x-3 right)} geqslant 0

Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:

Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение x=2 Это происходит потому, что при x=2 и левая, и правая части неравенства равны нулю — следовательно, эта точка является решением.

Ответ: left( -infty ;1 right)cup {2} cup left( 3 ;+ infty right).

В задаче C3 на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!

4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle left( x+2 right)left( x^2-4x+7 right)}{displaystyle x-5}<0

Квадратный трехчлен x^2-4x+7 на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения x^2-4x+7 при всех x одинаков, а конкретно — положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции.

И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину x^2-4x+7, положительную при всех x. Придём к равносильному неравенству:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle x+2}{displaystyle x-5}<0

— которое легко решается методом интервалов.

Обратите внимание — мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

5. Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle x}<1

Так и хочется умножить его на x. Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь x может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину — знак неравенства меняется.

Мы поступим по другому — соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle x}-1<0

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2-x}{displaystyle x}<0

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle x-2}{displaystyle x}>0

И после этого — применим метод интервалов.


Ссылка на основную публикацию