Иррациональные уравнения на примерах

Иррациональными называют уравнения в которых неизвестная величина находится под знаком корня определенного степени. Простейшие иррациональные уравнения решаются или подъемом в степень или заменой . Сложные иррациональные уравнения сводятся к предыдущим некоторыми искусственными методами . Например, такое на первый взгляд сложное уравнение

иррациональное уравнение

сводится к квадратному заменой
замена

Зачастую при раскрытии иррациональности используют формулу сложного радикала
формула сложного радикала
Стоит отметить, что при решении иррациональных уравнений необходимо определять область допустимых значений. Кроме того следует производить проверку, подставляя найденные значения неизвестных в исходное уравнение, поскольку при возведении в степень мы увеличиваем степень уравнения что может привести к появлению посторонних корней.

Перейдем к вычислениям.

Пример 1. Найти решение уравнения
иррациональное уравнение, пример

Решение:

Находим область допустимых значений
область допустимых значений

Подносим обе части уравнения в квадрат и решаем

Получили решение x=3.

————————-

Пример 2. Найти решение уравнения
иррациональное уравнение, пример

Решение:

ОДЗ для уравнения
ОДЗ
ОДЗ

Раскрываем иррациональность уравнения и находим
иррациональное уравнение, пример
решение

Он принадлежит области допустимых значений , то есть — является решением.

————————-

Пример 3. Решить уравнениеиррациональное уравнение, пример

Решение:

Находим область допустимых значений
ОДЗ
ОДЗ: ОДЗ

По описанной схеме подносим обе части в квадрат чтобы избавиться иррациональности

возведение к квадрату

Переносим все слагаемые кроме корней в правую часть и упрощаем

Для раскрытия иррациональности снова выполняем возведения в квадрат и упрощение
упрощение
упрощение
упрощение
квадратное уравнение

Получили квадратное уравнение, корни которого находим с помощью дискриминанта
дискриминант
корни квадратного уравнения
корни

Второй корень не принадлежит области допустимых значений . Эту проверку следует выполнять всегда , иначе получите больше корней чем нужно, причем они не удовлетворяют исходное уравнение .

Итак решением будет значение x=4.

————————-

Пример 4. Решить уравнениеиррациональное уравнение, пример

Решение:
Область допустимых значений для данного уравнения в простой способ найти не удастся , поэтому выполним решение после чего проверим подстановкой полученные корни.

Подносим обе части уравнения в квадрат

Данное выражение большинство из Вас упростило бы на x и подносило к квадрату. Но это было бы неправильно.
На x делить можно когда он принимает ненулевое значение. В данном случае x=0 будет решением уравнения , в чем легко убедится

После того, как мы это учли можно продолжать вычисления
вычисления
вычисления
вычисления

Выполняем проверку

Получили два корня уравнения x=0, x=6.

————————-

Пример 5. Найти решение уравнения
иррациональное уравнение, пример

Решение:
Преподносить к квадрату обе стороны в подобных уравнениях не нужно. Для упрощения делаем замену
замена

Уравнение превратится в следующее

Умножаем на y и переписываем в виде квадратного уравнения

Теорема Виета дает нам два одинаковые корни

Возвращаемся к замене и находим решение

Значение x=5/3 удовлетворяет уравнения.

————————-

Пример 6. Найти решение иррационального уравнения
иррациональное уравнение, пример

Решение:
Подносим к кубу обе стороны и упрощаем
вычисление
обчислення
обчислення

Стоит отметить, что выражение в скобках соответствует правой стороне заданного уравнения. В подобных примерах такие ситуации встречаются часто, поэтому будьте внимательны при решении . Делаем подстановку

Приравниваем каждый из множителей к нулю и решаем
решение
решение
решение

Проверку выполните самостоятельно. Она покажет что все три найденные значения превращают уравнения в тождество.

решение

————————-

Пример 7. Найти решение иррационального уравнения
иррациональное уравнение, пример

Решение:
Такой тип уравнений придуман для невнимательных студентов. При спокойном анализе можно увидеть следующую закономерность

Стандартное возведения в квадрат в данном случае было бы длинным и сложным путем к отысканию решений. С скобок получим значение

Упрощаем исходное уравнение и подносим к квадрату


квадратное уравнение

К полученному квадратного уравнения вычисляем дискриминант
дискриминант

Корни уравнения находим по формуле
корни квадратного уравнения
корни

Таким образом установлено, что подобные уравнения могут иметь до трех решений
розв'язок

Изучайте по возможности различные математические пакеты — они облегчают обучение . В частности, в Maple последнее задача решается несколькими строками

> restart;
> eq:=(x-3)*sqrt(x^2-5*x-2)=2*x-6;
уравнение в Maple
> solve({eq},{x});
решение в Maple

Просто и красиво . Однако и Maple может решить далеко не все иррациональные уравнения, некоторые корни не находит, в определенных случаях покоренных выражения нужно доопределить. Однако для упрощения расчетов достаточно проста в плане кода программа.

—————————-

На этом знакомство с иррациональными уравнениями завершается . На практике можно встретить иррациональные уравнения которые вообще говоря трудно решить приведенными методами, однако приближенные корни найти численно удается. Поэтому, если у Вас при исчислении возникнут трудности — обращайтесь, мы Вам поможем!

Ссылка на основную публикацию