Формулы сокращенного умножения. Примеры

Формулы сокращенного умножения применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители, быстрого умножения многочленов. Большинство формул сокращенного умножения можно получить из бинома Ньютона — в этом Вы скоро убедитесь.

Формулы для квадратов применяют в вычислениях чаще. Их начинают изучать в школьной программе начиная с 7 класса и до конца обучения формулы для квадратов и кубов школьники должны знать на зубок.

Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения

Формулы для кубов не сильно сложные и их нужно знать при сведении многочленов к стандартному виду, для упрощения подъема суммы или разности переменной и числа к кубу.

Формулы сокращенного умножения, 3 степень

Формулы обозначены красным получают из предыдущих группировкой подобных слагаемых.

Формулы для четвертого и пятого степени в школьном курсе мало кому пригодятся, однако есть задачи при изучении высшей математики где нужно вычислять коэффициенты при степенях.

Формулы возведения к 4,5 степени


Формулы для степени
n расписаны через биномиальные коэффициенты с использованием факториалов следующие
сумма в n - й степени
разница в n - й степени

Примеры применения формул сокращенного умножения

Пример 1. Вычислить 51^2.

Решение. Если есть калькулятор то без проблем находите
пример

Это я пошутил — с калькулятором мудрые все, без него … (не будем о грустном).

Не имея калькулятора и зная приведенные выше правила квадрат числа находим по правилу

Пример 2. Найти 99^2.

Решение. Применим вторую формулу
пример

Пример 3. Возвести в квадрат выражение
(x+y-3).

Решение. Сумму первых двух слагаемых мысленно считаем одним слагаемым и по второй формуле сокращенного умножения имеем

разность квадратов

Пример 4. Найти разность квадратов
11^2-9^2.

Решение. Поскольку числа небольшие то можно просто подставить значения квадратов

разность квадратов

Но цель у нас совсем другая — научиться использовать формулы сокращенного умножения для упрощения вычислений. Для этого примера применим третью формулу

разность квадратов

Пример 5. Найти разность квадратов
17^2-3^2.

Решение. На этом примере Вы уже захотите изучить правила чтобы вычисления свести к одной строке

формулы сокращенного умножения, пример

Как видите — ничего удивительного мы не делали.

Пример 6. Упростить выражение
(x-y)^2-(x+y)^2.

Решение. Можно раскладывать квадраты, а позже сгруппировать подобные слагаемые. Однако можно прямо применить разность квадратов
формулы сокращенного умножения, пример

Просто и без длинных решений.

Пример 7. Возвести в куб многочлен
x^3-4.

Решение. Применим 5 формулу сокращенного умножения
возведение к кубу

Пример 8. Записать в виде разности квадратов или их сумме
а) x^2-8x+7
б) x^2+4x+29

Решение. а) Перегруппируем слагаемые

выделение квадратов

б) Упрощаем на основе предыдущих рассуждений
выделение квадратов

Пример 9. Разложить рациональную дробь
дробь

Решение. Применим формулу разности квадратов
расписание дроби на простые слагаемые

Составим систему уравнений для определения констант
уравнение
система уравнений

К утроенному первому уравнению добавим второе. Найденное значение подставляем в первое уравнение
решение
решение

Окончательно разложение примет вид
расписание дроби

Разложить рациональную дробь часто необходимо перед интегрированием, чтобы снизить степень знаменателя.

Пример 10. Используя бином Ньютона расписать
выражение (x-a)^7.

Решение. Что такое бином Ньютона Вы вероятно уже знаете. Если нет то ниже приведены биномиальные коэффициенты

бином Ньютона, рисунок

Они образуются следующим образом: по краю идут единицы, коэффициенты между ними в нижней строке образуют суммированием соседних верхних. Если ищем разницу в каком-то степени, то знаки в расписании чередуются от плюса к минусу. Таким образом для седьмого порядка получим такой расклад

возведение к 7 степени

Внимательно также посмотрите как меняются показатели — для первой переменной они уменьшаются на единицу в каждом следующем слагаемом, соответственно для второй — на единицу растут. В сумме показатели всегда должны быть равны степени разложения (=7).

Думаю на основе приведенного выше материала Вы сможете решить задачи на бином Ньютона. Изучайте формулы сокращенного умножения и применяйте везде, где это может упростить вычисления и сэкономит время выполнения задания.

Ссылка на основную публикацию