Действия со степенями и корнями

  • Свойства степени с натуральным показателем
  • Степень с целым и дробным показателем
  • Преобразования арифметических корней

Свойства степени с натуральным показателем

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели
складываются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели
степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

3. При возведении степени в степень показатели
степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

.

Например, .

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

.

Например, .

Пример 1. Найти значение выражения

.

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени
с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания.
Запишем некоторые степени в другом виде:


(степень произведения равна произведению степеней множителей),


(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание
остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются,
а основание остаётся прежним).

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени
с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах
математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и
производной функции, заданной неявно.

Степень с целым и дробным показателем

Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти значение выражения

.

Пример 3. Найти значение выражения

.

Пример 4. Найти значение выражения

.

Правильные ответы и решения примеров 2, 3, 4.

Преобразования арифметических корней

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных
чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей:
,
где
(правило извлечения корня из произведения).

2. Если ,
то
(правило извлечения корня из дроби).

3. Если ,
то
(правило извлечения корня из корня).

4. Если ,
то
(правило возведения корня в степень).

5. Если ,
то ,
где ,
т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и
то же число.

6. Если ,
то ,
т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение
корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке
(т. е. справа налево). Например:


(правило умножения корней),


(правило деления корней),

.

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При
.

9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим
некоторые типичные случаи.

а) ,
так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с
арифметическими корнями:

1) ;

2) ;

3)

Ссылка на основную публикацию