Действия с дробями

  • Основное свойство дроби
  • Сокращение дробей
  • Приведение дробей к общему знаменателю
  • Сложение и вычитание дробей
  • Умножение и деление дробей
  • Свойства пропорции
  • Представление рациональной дроби в виде суммы простейших дробей

Основное свойство дроби

Условимся считать, что под «действиями с дробями» на нашем уроке будут пониматься
действия с обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь — это дробь, обладающая такими атрибутами, как
числитель, дробная черта и знаменатель. Это отличает обыкновенную дробь от десятичной, которая получается
из обыкновенной путём приведения знаменателя к числу, кратному 10. Десятичная дробь записывается с запятой,
отделяющей целую часть от дробной. У нас пойдёт речь о действиях с обыкновенными дробями, так как именно
они вызывают наибольшие затруднения у студентов, позабывших основы этой темы, пройденной в первой половине
школьного курса математики. Вместе с тем при преобразованиях выражений в высшей математике используются
в основном именно действия с обыкновенными дробями. Одни сокращения дробей чего стоят! Десятичные же дроби
особых затруднений не вызывают. Итак, вперёд!

Две дроби
и
называются равными, если .

Например, ,
так как

Равными также являются дроби
и (так как
),
и
(так как
).

Очевидно, равными являются и дроби
и . Это означает,
что если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число,
то получится дробь, равная данной: .

Это свойство называется основным свойством дроби.

Основное свойство дроби можно использовать для перемены знаков у числителя и знаменателя
дроби. Если числитель и знаменатель дроби
умножить на -1, то получим .
Это означает, что значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя.
Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:

;

.

Сокращение дробей

Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить данную дробь другой дробью,
равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.

Пусть, например, дана дробь .
Числа 36 и 48 имеют наибольший общий делитель 12. Тогда

.

В общем случае сокращение дроби возможно всегда, если числитель и знаменатель не
являются взаимно простыми числами. Если числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то дробь
называется несократимой.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и
наименьшего общего кратного двух чисел
.

Итак, сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий
множитель. Всё вышесказанное применимо и к дробным выражениям, содержащим переменные.

Пример 1. Сократить дробь

.

Решение. Для разложения числителя на множители, представив предварительно одночлен
— 5xy в виде суммы — 2xy — 3xy,
получим

Для разложения знаменателя на множители используем формулу разности квадратов:

.

В результате

.

Далее, изменяя знаки в числителе и знаменателе дроби, получим

Приведение дробей к общему знаменателю

Пусть даны две дроби и
. Они имеют разные
знаменатели: 5 и 7. Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить эти дроби другими, равными им,
причём такими, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Умножив числитель и знаменатель
дроби на 7, получим

.

Умножив числитель и знаменатель дроби
на 5, получим

.

Итак, дроби приведены к общему знаменателю:

.

Но это не единственное решение поставленной задачи: например, данные дроби можно
привести также к общему знаменателю 70:

,

и вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 5 и 7.

Рассмотрим ещё один пример: приведём к общему знаменателю дроби
и
. Рассуждая, как в
предыдущем примере, получим

,

.

Но в данном случае можно привести дроби к общему знаменателю, меньшему, чем произведение
знаменателей этих дробей. Найдём наименьшее общее кратное чисел 24 и 30: НОК(24, 30) = 120.

Так как 120:4=5, то чтобы записать дробь
со знаменателем 120, надо и числитель, и знаменатель умножить на 5, это число называется дополнительным
множителем. Значит .

Далее, получаем 120:30=4. Умножив числитель и знаменатель дроби
на дополнительный
множитель 4, получим .

Итак, данные дроби приведены к общему знаменателю.

Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей является наименьшим возможным
общим знаменателем.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и
наименьшего общего кратного двух чисел
.

Для дробных выражений, в которые входят переменные, общим знаменателем является
многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.

Пример 2. Найти общий знаменатель дробей
и
.

Решение. Общим знаменателем данных дробей является многочлен
,
так как он делится и на ,
и на .
Однако этот многочлен не единственный, который может быть общим знаменателем данных дробей.
Им может быть также многочлен ,
и многочлен , и
многочлен и т.д.
Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на выбранный без
остатка. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем.

В нашем примере наименьший общий знаменатель равен .
Получили:

;

.

Нам удалось привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Это произошло путём
умножения числителя и знаменателя первой дроби на ,
а числителя и знаменателя второй дроби — на .
Многочлены и
называются
дополнительными множителями, соответственно для первой и для второй дроби.

Сложение и вычитание дробей

Сложение дробей определяется следующим образом:

.

Например,

.

Если b = d, то

.

Это значит, что для сложения дробей с одинаковым знаменателем достаточно сложить
числители, а знаменатель оставить прежним. Например,

.

Если же складываются дроби с разными знаменателями, то обычно приводят дроби к
наименьшему общему знаменателю, а потом складывают числители. Например,

.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и
наименьшего общего кратного двух чисел
.

Теперь рассмотрим пример сложения дробных выражений с переменными.

Пример 3. Преобразовать в одну дробь выражение

.

Решение. Найдём наименьший общий знаменатель. Для этого сначала разложим
знаменатели на множители:

1) ;

2) ;

3) .

Наименьший общий знаменатель:

Дополнительные множители, на которые умножаются числители дробей:

1) 6;

2) ;

3) .

Результат этого умножения:

.

Далее, раскрывая скобки и выполняя тождественные преобразования, получаем

.

Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей
и
равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению
знаменателей, т. е. .

Например,

.

При делении дроби на дробь числитель делимого умножается на знаменатель
делителя, а знаменатель делимого — на числитель делителя, т. е.
.

Например,

.

Свойства пропорции

1. Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних
членов, т. е. если
, то
.

2. Из пропорции
вытекают следующие пропорции: ,
,
,
то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

3. Чтобы найти неизвестный средний (крайний) член пропорции, нужно
произведение крайних (средних) членов пропорции разделить на известный средний (крайний)
член пропорции:
и
.

Представление рациональной дроби в виде суммы простейших дробей

В высшей математике это действие с дробями чаще всего применяется при
интегрировании рациональных функций. Поэтому оно подробно разобрано в уроке Интегрирование
рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов
.

Ссылка на основную публикацию