Арифметическая и геометрическая прогрессии. Решения

На Ваше рассмотрение представлены решения примеров повышенной сложности на арифметическую и геометрическую прогрессии. Методика вычислений является полезной для практических занятий как в школе, так и ВУЗах и соответствует школьной программе. Если приведенные примеры для Вас трудны прочтите для начала простые задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию.

Пример 1. В геометрической прогрессии b10* b14* b21=-0,125. Вычислить b15.
Решение. Приведем методику которая упростит решение подобных примеров. Для начала найдем сумму индексов членов прогрессии.
10+14+21=45.
Сумма 45 нацело делится на 15 и получаем 3. Заданное произведение членов прогресии можно представить в виде
b10* b14* b21=(b15)^3
Это следует и со свойств геометрической прогреси.
Отсюда вычисляем искомый член прогрессии
член геометрической прогрессии
Итак, 15 член прогрессии равен -0,5.

 

Пример 2. Сумма трех чисел, представляющих возрастающую арифметическую прогрессию равна 21. Если к ним, соответственно, добавить 2, 3, и 9 то образованные числа составят геометрическую прогрессию. Найти наибольшее из искомых членов проргресии.
Решение. Таким заданием можно проверить знание формул арифметической и геометрической прогрессии.
Обозначим члены возрастающей прогрессии через a-d, a, a+d.
Тогда их сумма равна 3a=21, откуда a=21/3=7.
Такое быстрое решение получили за счет удачного выбора формул членов прогресии. Таким образом средний член арифметической прогрессии известен.
Далее найдем неизвестные члены геометрической прогрессии
Первый – a-d+2=7-d+2=9-d
второй a+3=7+3=10.
третий a+d+9=7+d+9=16+d.
По свойству геометрической прогрессии о среднем геометрическом значении получим что квадрат среднего ее члена равен произведению равноудаленных, т.е.
геометрическая прогрессия, формулы
Подставим члены геометрической прогрессии в формулу
(9-d)(16+d)=10^2=100.
Думаю Ви знаете что делать с подобным уравнением.
Раскроем скобки и сведем к квадратному уравнению относительно разницы арифметической прогрессии.

квадратное уравнение
Находим дискриминант
дискриминант
и шаг арифметической прогрессии
шаг арифметической прогрессии
Отсюда находим нужный член арифметической прогрессии
a+d=7+4=11.
Вот такие сложные задачи на прогрессию Вам могут встретиться в обучении.

 

Пример 3. Три числа которые составляют возрастающую арифметическую прогрессию дают в сумме 15. Если к первому и второму из них добавить по единице, а к третьему числу прибавить 4, то новые числа составят геометрическую прогрессию. Найти старшый член заданной прогресии.
Решение. Задача аналогична предыдущей. Вводим те же обозначения что и в предыдущем примере, тогда средний член арифметической прогрессии равен 15/3=5, а соседние – 5-d и 5+d.
По условию запишем члены геометрической прогрессии
(5-d+1)=6-d; 5+1=6; 5+d+4=9+d
и составим из них уравнение
(6-d)(9+d)=6*6=36.
Раскрываем скобки и сводим к квадратному уравнению

квадратное уравнение
Вычисляем дискриминант
дискриминант
и разницу арифметической прогрессии
d=(-3+9)/2=3.
Больший из членов прогресии равен 8
a+d=5+3=8.

 

Пример 4. Три числа b1, b2, b3 образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Вычислить b3 если b1*b2*b3=64, b1+b2+b3=14.
Решение. Опять имеем задание на составление уравнения. Обозначим члены геометрической прогрессии в нужном для нас виде
b/q;b;b*q.
Подставив в условие можно найти средний член геометрической прогрессии
b/q*b*b*q=b^3=64.
Отсюда средний член геометрической прогрессии равен корню кубическому из 64

С учетом найденного значения, запишем второе условие задания

b1+b2+b3=14;
уравнения

Умножым на знаменатель прогресии

и сведем к квадратному уравнению
квадратное уравнение
Вычислим дискриминант уравнения
дискриминант
и знаменатель геометрической прогрессии
знаменатель геометрической прогрессии
Второе значение отбрасываем, так как при нем геометрическая прогрессия становится убывающей, а по условию мы ищем возрастающую прогрессию.
Теперь без труда находим старший член геометрической прогрессии
b*q=4*2=8.

 

Пример 5. Три числа b1, b2, b3 образуют убивающую геометрическую прогрессию. Вычислить b3 если b1*b2*b3=27, b1+b2+b3= 13.
Решение. По свойству геометрической прогрессии имеем
b2/q*b2*b2*q=2^3=27.
Отсюда второй член геометрической прогресии равен b[2]=3.
Из второго условия получим уравнение
уравнения на прогрессию
квадратное уравнение
Найдем дискриминант квадратного уравнения

и определим знаменатель прогрессии
знаменатель прогрессии
Первое значение q=3 не удовлетворяет начальное условие (убивающая прогресия).
При q=1/3 третий член геометрической прогрессии равен
b[3]=b[2]*q=3/3=1
.
Рекомендуем используйте приведенный алгоритм вычислений в подобных задачах.

 

Пример 6. Определить седьмой член возрастающей арифметической прогрессии если а39=24, а39=108.
Решение. Задача не сложная, поскольку имеем два условия и две неизвестные. Так что решение найти можно. Выразим из первого уравнения a[9] и подставим во второе
условие
уравнения
Последнее уравнение решаем через дискриминант
дискриминант
член прогрессии
С первого условия
а39=24
видим, что при а3=18 прогрессия не будет возрастающей. Итак, остается а3=6. Отсюда
a[9]=24-a[3]=24-6=18.
С другой стороны
a[9]=a[3]+6d
имеем условие для нахождения разницы прогрессии
6+6d=18; 6d=12; d=12/6=2.
По формуле находим седьмой член арифметической прогрессии
a[7]=a[3]+4d=6+4*2=14.
Вот и весь алгоритм подобных вычислений.

 

Пример 7. Определить восьмой член возрастающей арифметической прогрессии если а27=18, а27=56.
Решение. Подобнаяе по схеме вычислений задача уже рассматривалась. Выразим из первого уравнения a[2] и подставим во второе
a[2]=18-a[7]; (18-a[7]) a[7]=56.
Раскроеем скобки и сведем к квадратному уравнению
уравнения на прогрессию
С помощью дискриминанта
дискриминант
вычислим неизвестный член прогрессии
член прогрессии
С первого условия делаем вывод что только при a[7]=14 арифметическая прогрессия будет возрастающей.
Соответственно второй член прогресии равен
a[2]=18-a[7]=18-14=4.
По формуле
a[7]=a[2]+5d
определяем шаг прогрессии
14=4+5d; 10=5d; d=2.
Находим 8 член арифметической прогрессии
a[8]=a[7]+d=14+2=16.
Для самопроверки можете подставить найдены члены прогрессии в условие задания.

 

Пример 8. Вычислить сумму первых восьми членов нисходящей арифметической прогрессии если а26=24, а26=128.
Решение. Чтобы найти сумму прогрессии нам нужно знать первый и восьмой член прогрессии, или 1 член прогрессии и разность (шаг).
Для начала определим из двух уравнений хотя бы один член прогрессии
a[2]=24-a[6];
(24-a[6])*a[6]=128.

При раскрытии скобок получим квадратное уравнение
квадратное уравнение
Как решать квадратные уравнения Вы уже знаете. Дискриминант принимает значение
дискриминант
Далее считаем 6 член арифметической прогрессии
член арифметичної прогресії
При a[6]=8 арифметическая прогрессия является убывающей. Находим разницу прогрессии
a[2]=24-a[6]=24-8=16.
a[6]=a[2]+4d=16+4d=8;
4d=-8;d=-2.

Легко заметить что значение второго члена прогрессии всегда совпадает с корнем уравнения который отвергаем по условию задачи. Это своего рода подсказка правильности вычислений.
Находим первый и восьмой член прогрессии
a[1]=a[2]-d=16-(-2)=18;
a[8]=a[6]+2d=8+2*(-2)=4.

Найденные значения подставляем в формулу суммы арифметической прогрессии
S=(a[1]+a[8])*8/2=(18+4)*8/2=88.
Сумма восьми членов прогрессии равна 88.

Конечно это не все примеры, которые можно встретить в интернете среди возможных, однако и на их базе можно взять для себя несколько удачных приемов которые можно использовать на практике при решении упражнений на арифметическую и геометрическую прогрессии. Навыки приходят с практикой, поэтому ищите подобные задачи и учитесь решать!

Ссылка на основную публикацию