Арифметическая и геометрическая прогрессии. Примеры

Примеры на арифметическую и геометрическую прогрессию взяты из «Сборника задач для абитуриентов. Математика» изданного Волынским государственным университетом имени Леси Украинки в 2001 году. Внимательно ознакомьтесь с ответами и выберите для себя самое необходимое.

Группа А (уровень 1)

Пример 1. Вычислить шестой член арифметической прогрессии 21,3; 22,4; …,
Решение: Найдем разницу (шаг) прогрессии
d=a2-a1=22,4-21,3=1,1.
Далее вычисляем шестой член арифметической прогрессии
a6=a1+(6-1)d=21,3+5*1,1=26,8.

 

Пример 2. Вычислить шестой член геометрической прогрессии 5; 10; 20;
Решение: Найдем знаменатель геометрической прогрессии
q=b2/b1=10/5=2.
Вычисляем шестой член геометрической прогрессии
b6=b1q6-1=5*25=5*32=160.

 

Пример 3. В арифметической прогрессии a1=2,1 a10=12,9. Вычислить разницу прогрессии.
Решение: Представим десятый член прогрессии в виде формулы
a10=a1+(10-1)d= a1+9d.
Подставим известные значения и решим
12,9=2,1+9d;
9d=12,9-2,1=10,8;
d=10,8/9=1,2.

Ответ: разница прогрессии d=1,2.

 

Пример 4. В геометрической прогрессии b1=2,56; b4=4,42368. Вычислить знаменатель прогрессии.
Решение: Находим знаменатель прогрессии
q=b2/b1=4,42368/2,56=1,728.
Без калькулятора здесь не обойтись.
Ответ: знаменатель прогрессии равен q=1,728.

 

Пример 5. В арифметической прогрессии a1=20,1, d=1,3. Вычислить сумму первых восьми членов прогрессии.
Решение:
Cуму арифметической прогрессии находим по формуле

сумма арифметической прогрессии

Выполняем вычисления
S8=(2*20,1+(8-1)*1,3)*8/2=197,2.
Ответ: S8=197,2.

 

Пример 6. В геометрической прогрессии b1=1,5; q=1,2. Вычислить сумму первых четырех членов прогрессии.
Решение: Cуму геометрической прогрессии вычисляем по формуле

сумма геометрической прогрессии

Находим сумму прогрессии
сумма прогрессии
Ответ: S8=8,052.

 

Пример 7. В арифметической прогрессии a1=1,35 d=-2,4. Вычислить номер члена прогрессии, равный -25,05.
Решение: Член арифметической прогрессии находят по формуле
an=a1+(n-1)d.

По условию задано все кроме порядкового номера известно, найдем его
-25,05=1,35+(n-1)(-2,4);
номер
Ответ: n=12.

 

Пример 8. Вычислить седьмой член прогрессии 23,5; 24,82; 26,14; …
Решение: Поскольку в условии не задано какая прогрессия задана, то сначала нужно ето установить . Получите, что арифметическая
d=a2-a1=24,82-23,5=1,32;
d=a3-a2=26,14-24,82=1,32.
Находим седьмой член прогрессии
a7=a1+(7-1)d=23,5+6*1,32=31,42.
Ответ: a7= 31,42.

 

Пример 9. Вычислить номер члена прогрессии 2,1; 3,3; 4,5; … , равный 11,7.
Решение: Легко убедиться, что задана арифметическая прогрессия. Найдем разницу прогрессии
d=a2-a1=3,3-2,1=1,2.
По формуле члена прогрессии
an=a1+(n-1)d
найдем номер
11,7=2,1+(n-1)*1,2;
номер
Ответ: n= 9.

 

Пример 10. Вычислить четвертый член прогрессии 1,5; 1,8; 2,16; ….
Решение: Без проверки можно сказать, что прогрессия — геометрическая. Найдем ее знаменатель
q=b2/b1=1, 8/1,5=1,2.
Вычислим 4 член геометрической прогрессии по формуле
b4=b1q3=1,5*1,23=2,592.
Ответ: b4=2,592.

 

Пример 11. Вычислить номер члена прогрессии 1,2; 1,8; 2,16; … равный 4,05.
Решение: Имеем геометрическую прогрессию. Найдем знаменатель прогрессии
q=b2/b1=1, 8/1,2=1,5.
Найдем номер прогресии из зависимости
bn=b1qn-1.
4,05=1,2*1,5n-1;
1,5n-1=4,05/1,2=3,375=1,53;
n-1=3; n=4.
Ответ: n=4.

 

Пример 12. В арифметической прогрессии a5=14,91 a9=20,11. Вычислить a1.
Решение: Выразим 9 член прогрессии через 5
a9= a5+(9-5)d
и найдем шаг прогрессии
20,11=14,91+4d;
4d=5,2; d=5,2/4=1,3.
Выразим 5 член прогрессии через 1 и вычислим первый
a5= a1+4d;
14,91= a1+5,2;
a1=14,91-5,2=9,71.
Ответ: a1=9,71.

 

Пример 13. В арифметической прогрессии а7=12,01; a11=17,61. Вычислить разницу прогрессии.
Решение: Выразим 11 член прогрессии через 7
a11= a7+(11-7)d.
Отсюда вычислим шаг прогрессии
17,61=12,01+4d;
4d=5,6; d=5,6/4=1,4.
Ответ: d=1,4.

 

Пример 14. В геометрической прогрессии b5=64; b8=1. Вычислить b3.
Решение: Выразим 8 член прогрессии через 5
b8= b5q8-5.
Отсюда находим знаменатель прогрессии
1=64 q3;
q3=1/64=(1/4)3;
q=1/4.

Подобным образом находим b3 через b5
b3= b5/q2=64*42=1024.
Ответ: b3=1024.

 

Пример 15. В арифметической прогрессии а915=14,8. Вычислить а12
Решение: В этом примере следует учесть, что 12 член прогрессии находится посередине между 9 ее номером и 15. Поэтому соседние члены прогрессии (9, 15) можно выразить через 12 следующим образом
a9= a12-(12-9)d;
a15= a12+(15-9)d;
a9= a12-3d;
a15= a12+3d.

Просуммируем крайние члены прогрессии
a9+ a15= a12-3d+ a12+3d=2a12.
Отсюда находим 12 член прогрессии
a12=(a9+a15)/2=14,8/2=7,4.
Ответ: a12=7,4.

 

Пример 16. В геометрической прогрессии b10*b14=289. Вычислить модуль 12 члена прогрессии | b12|.
Решение: Алгоритм решении задачи содержится в предыдущем примере. Следует выразить 10 и 14 член геометрической прогрессии через 12. По свойствам геометрической прогрессии получим
b10= b12/q2; b14= b12*q2.
Легко заметить, что при их произведения знамениик прогрессии пропадает
b10* b14= (b12)2=289=172.
Отсюда находим модуль | b12|
(b12)2=289=172 -> | b12|=17.
Ответ: | b12|=17.

 

Пример 17. В геометрической прогрессии b8=1,3. Вычислить b6*b10.
Решение: Схема вычислений аналогична предыдущему примеру — выражаем 6 и 10 член прогрессии через 8.
b6= b8/q2; b10= b8*q2.
При их умножении знаменатели сокращаются и получим квадрат известного члена прогрессии
b6*b10= (b8)2=1,32=1,69.
Ответ: b6*b10=1,69.

 

Пример 18. В арифметической прогрессии а10=3,6: a12=8. Вычислить а8
Решение: Запишем члены прогрессии в ряд а8, а10, a12. Между ними одинаковый шаг, найдем его
a12= a10+2d;
2d= a12— a10=8-3,6=4,4.

Таким же методом находим а8
a10= a8+2d;
a8= a10-2d=3,6-4,4=-0,8.

Вот такие несложные расчеты.
Ответ: a8=-0,8.

 

Пример 19. В геометрической прогрессии b14=8; b16=2. Вычислить b12.
Решение: Опуская подробные объяснения, запишем произведение 14 и 16 члена прогрессии
b14*b16=(b12)2.
Это равносильно среднему геометрическому. Найдя корень из произведения членов, получим искомое значение
(b12)2=8*2=16; b12=4.
Ответ: b12=4.

 

Пример 20. В арифметической прогрессии а5=3,4; a11=6,9. Вычислить а17.
Решение: Между 5,11 и 17 членом прогрессии одинаковый шаг и он равен 6d. Поэтому конечное решение можно записать в виде
а17= a11+6d= a11+(a11— а5)=2*6,9-3,4=10,4.
Думаю, что Вы понимаете, почему такая запись. Если нет — попробуйте расписать 11 член прогрессии через 5 и виразить 6d.
Ответ:
а17=10,4.

 

Пример 21. Вычислить 6-й член геометрической прогрессии 3; 12;… .
Решение: Найдем знаменатель прогрессии
q=b2/b1=12/3=4.
Воспользуемся общей формуле члена геометрической прогрессии
bn= b1*qn-1.
Отсюда получим
b6= b1*q5=b2*q4.
Как видите, главное в записи, чтобы сумма индекса (2) и степень (4) соответствовала порядковому номеру члена прогрессии (6). Выполняем вычисления
b6= 12*44=12*256=3072.
Получили большое число, но геометрическая прогрессия тем и отличается, что ее члены или быстро растут, или — сходят.
Ответ: b6=3072.

 

Пример 22. В арифметической прогрессии а3=48; a5=42. Вычислить а7.
Решение: Так как разница прогрессии между заданными членами и искомым сталая и равна 2d то формула 7 члена прогрессии будет выглядеть
а7= a5+2d= a5+(a5— а3);
а7=2*42-48=36
.
Ответ: а7=36.

 

Пример 23. Вычислить сумму первых пятнадцати нечетных чисел.
Решение: Запишем несколько членов этой прогрессии 1, 3, 5, … Разница прогрессии равна d=2. Вычислим 15 член прогрессии
а15= а1+14d=1+14*2=29.

Подставим в формулу суммы арифметической прогрессии
сумма прогрессии
сумма прогрессии
Ответ: Сумма прогрессии равна 225.

 

Пример 24. Вычислить первый член арифметической прогрессии, если сумма первых двенадцати ее членов равна 642 и двенадцатый член равен 48.
Решение: Здесь нужно составить два уравнения из которых определить две неизвестные. Сумму 12 членов арифметической прогрессии можно найти по формуле
сумма прогрессии
12а1+66d=642.
Второе уравнение запишем с формулы 12 члена прогрессии
а12= а1+11d=48.
Выразим 11d из второго уравнения и подставим в первое уравнение
11d=48-а1;
12а1+6*11d=642;
12а1+6*(48-а1)=642;
1+288=642;
1=642-288=354;
а1=354/6=59.

Ответ: а1=59.

 

Пример 25. Вычислить знаменатель геометрической прогрессии, состоящей из действительных чисел, если b5=162; b8=4374.
Решение: Выразим 8 член геометрической прогрессии через 5
b8= b5*q3.
Отсюда выразим знаменатель
q3= b8/ b5=4374/162=27=33; q=3.
Знаменатель равен 3.
Ответ: q=3.

На этом простые задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию назад. Хорошо разберите приведены варианты и схемы вычислений, они не слишком сложные и понятно обоснованы.

Ссылка на основную публикацию