Алгебраические структуры: группы, кольца, поля

  • Алгебраические структуры: группы
  • Алгебраические структуры: кольца
  • Алгебраические структуры: поля

Непустое множество (чаще всего чисел) называется алгебраической структурой,
если на нём определены какие-либо операции, которые обладают определёнными свойствами. В
математике чаще всего рассматриваются такие алгебраические структуры, как группы, поля и кольца. Если понятие
алгебраической структуры или вообще множества для вас совсем новое, лучше будет изучить уроки
Множества и операции над множествами и Множества чисел.

Алгебраические структуры: группы

Группой называется конечное или бесконечное множество (чаще всего чисел),
на котором:

1) определена операция (например, умножение), которую можно выполнить, не
выходя за пределы группы;

2) для элементов множества выполняется сочетальный (ассоциативный)
закон (для любых abc
верно равенство (ab)c = a(bc)).

3) существует так называемый единичный элемент e;

4) для каждого элемента a из этого множества существует
обратный элемент такой,
что , при этом
единственный.

Если в группе выполняется переместительный (коммутативный) закон
(для любых a и
b верно равенство ab = ba),
то такую группу называют коммутативной или абелевой группой.

Группу, в которой определена операция умножения, называют
мультипликативной группой. Если операцией группы является сложение, то группу называют аддитивной.
В этом случае в качестве единичного элемента фигурирует такой элемент z, а для
каждого элемента a существует единственный противоположный элемент (- a),
для которого выполняется (- a) + a = a + (- a) = z.

Натуральные числа N образуют
группу в отношении умножения. Сложение как операцию группы на множестве натуральных чисел
выполнять не удаётся, так как нуль находится за пределами множества N.
Множество положительных действительных чисел является группой в отношении умножения, а
множество всех действительных чисел R — группой
в отношении сложения (на этом множестве нельзя ввести число, обратное нулю).

Алгебраические структуры: кольца

У множеств комплексных чисел, действительных чисел, рациональных чисел и
целых чисел есть общая особенность: в них можно выполнять операции сложения, умножения и вычитания,
оставаясь в границах множества.

Каждое множество чисел, которое содержит сумму, произведение и разность
любых двух своих чисел, называется кольцом.

Кольцо образуют, например, чётные числа. В свою очередь нечётные числа
не образуют кольцо, так как сумма нечётных чисел — чётное число. Кроме того, никакая система положительных чисел
не будет кольцом, так как если a и b — два различных положительных числа, то либо ab,
либо ba отрицательно. Не будет кольцом и никакая система отрицательных чисел хотя бы потому,
что произведение двух отрицательных чисел положительно.

Алгебраические структуры: поля

Числовое кольцо называется числовым полем, если оно содержит частное любых двух своих чисел
(делитель предполагается отличным от нуля). Следовательно, можно говорить о поле рациональных чисел, поле
действительных чисел, поле комплексных чисел, в то время как кольцо целых чисел полем не является.

Поле можно определить и следующим образом. Множество называют полем, если в этом множестве по меньшей мере два
элемента и для них

1) определена операция сложения;

1′) определена операция умножения;

2) для сложения выполняется сочетательный (ассоциативный) закон;

2′) для умножения выполняется сочетательный (ассоциативный) закон;

3) для сложения выполнятся переместительный (коммутативный) закон;

3′) для умножения выполняется переместительный (коммутативный) закон;

4) выполнима операция вычитания;

4′) выполнима операция деления, кроме деления на нуль.

Для любых элементов поля a и
b найдётся такой элемент x,
что a + x = b.

Для любых элементов поля a и
b найдётся такой элемент y,
что a * y = b,
если a ≠ 0.

Для поля в силе распределительный (дистрибутивный) закон умножения (относительно сложения): (a + b)c = ac + bc.


Алгебраические структуры часто называют просто «алгебрами». Их используют
в абстрактном моделировании. В частности, они могут быть применены в программировании.
Например, когда нужно определить свойства и правила какой-либо структуры и установить запрет
на добавление в эту структуру элемента, которое (добавление) нарушило бы свойства и правила
для этой структуры.

Ссылка на основную публикацию