Алгебраические структуры: группы, кольца, поля

Непустое множество (чаще всего чисел) называется алгебраической структурой,
если на нём определены какие-либо операции, которые обладают определёнными свойствами. В
математике чаще всего рассматриваются такие алгебраические структуры, как группы, поля и кольца. Если понятие
алгебраической структуры или вообще множества для вас совсем новое, лучше будет изучить уроки
Множества и операции над множествами и Множества чисел.

Группой называется конечное или бесконечное множество (чаще всего чисел),
на котором:

1) определена операция (например, умножение), которую можно выполнить, не
выходя за пределы группы;

2) для элементов множества выполняется сочетальный (ассоциативный)
закон (для любых a, b, c
верно равенство (ab)c = a(bc)).

3) существует так называемый единичный элемент e;

4) для каждого элемента a из этого множества существует
обратный элемент такой,
что , при этом
единственный.

Если в группе выполняется переместительный (коммутативный) закон
(для любых a и
b верно равенство ab = ba),
то такую группу называют коммутативной или абелевой группой.

Группу, в которой определена операция умножения, называют
мультипликативной группой. Если операцией группы является сложение, то группу называют аддитивной.
В этом случае в качестве единичного элемента фигурирует такой элемент z, а для
каждого элемента a существует единственный противоположный элемент (- a),
для которого выполняется (- a) + a = a + (- a) = z.

Натуральные числа N образуют
группу в отношении умножения. Сложение как операцию группы на множестве натуральных чисел
выполнять не удаётся, так как нуль находится за пределами множества N.
Множество положительных действительных чисел является группой в отношении умножения, а
множество всех действительных чисел R — группой
в отношении сложения (на этом множестве нельзя ввести число, обратное нулю).

У множеств комплексных чисел, действительных чисел, рациональных чисел и
целых чисел есть общая особенность: в них можно выполнять операции сложения, умножения и вычитания,
оставаясь в границах множества.

Каждое множество чисел, которое содержит сумму, произведение и разность
любых двух своих чисел, называется кольцом.

Кольцо образуют, например, чётные числа. В свою очередь нечётные числа
не образуют кольцо, так как сумма нечётных чисел — чётное число. Кроме того, никакая система положительных чисел
не будет кольцом, так как если a и b — два различных положительных числа, то либо a—b,
либо b—a отрицательно. Не будет кольцом и никакая система отрицательных чисел хотя бы потому,
что произведение двух отрицательных чисел положительно.

Числовое кольцо называется числовым полем, если оно содержит частное любых двух своих чисел
(делитель предполагается отличным от нуля). Следовательно, можно говорить о поле рациональных чисел, поле
действительных чисел, поле комплексных чисел, в то время как кольцо целых чисел полем не является.

Поле можно определить и следующим образом. Множество называют полем, если в этом множестве по меньшей мере два
элемента и для них

1) определена операция сложения;

1′) определена операция умножения;

2) для сложения выполняется сочетательный (ассоциативный) закон;

2′) для умножения выполняется сочетательный (ассоциативный) закон;

3) для сложения выполнятся переместительный (коммутативный) закон;

3′) для умножения выполняется переместительный (коммутативный) закон;

4) выполнима операция вычитания;

4′) выполнима операция деления, кроме деления на нуль.

Для любых элементов поля a и
b найдётся такой элемент x,
что a + x = b.

Для любых элементов поля a и
b найдётся такой элемент y,
что a * y = b,
если a ≠ 0.

Для поля в силе распределительный (дистрибутивный) закон умножения (относительно сложения): (a + b)c = ac + bc.

Алгебраические структуры часто называют просто «алгебрами». Их используют
в абстрактном моделировании. В частности, они могут быть применены в программировании.
Например, когда нужно определить свойства и правила какой-либо структуры и установить запрет
на добавление в эту структуру элемента, которое (добавление) нарушило бы свойства и правила
для этой структуры.