9. Схема Бернулли. Понятие о законе больших чисел

Пусть производится n независимых испытаний, причем вероятность появления события A в каждом испытании равна p, тогда вероятность наступления события bar{A} равна q=1-p.

Найдем вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз (mle n).

Пусть событие A наступило в первых m испытаниях m раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения (m раз, n-m раз):

    [underbrace{AAldots A}_{m} underbrace{bar{A}bar{A}ldots bar{A}}_{n-m}.]

Общее число сложных событий, в которых A наступает m раз, равно числу сочетаний из n элементов по m> элементов. При этом вероятность каждого сложного события: p^mq^{n-m}. Так как эти сложные события несовместны, то вероятность суммы равна сумме их вероятностей.

Итак, если P_n(m) есть вероятность появления события Am раз в n испытаниях, то

    [P_n(m)={sf C}_n^mp^mq^{n-m}.]

Эта формула называется формулой Бернулли.

Пример. Пусть всхожесть семян моркови составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Решение. а) В данном случае p=0{,}9;q=0{,}1;n=4;m=3. Применяя формулу Бернулли, получим

    [P_4(3)=4cdot(0{,}9)^3cdot0{,}1=0{,}2916.]

б) Искомое событие состоит в том, что из четырех семян взойдут либо три, либо четыре. По теореме сложения вероятностей P(A)=P_4(3)+P_4(4).

Но P_4(4)=(0{,}9)^4=0{,}6561.

Поэтому P(A)=0{,}2916+0{,}6561=0{,}9477.

Мы уже определяли понятие вероятности в классической схеме и геометрически. Существуют еще и другие определения вероятности. Рассмотрим статистическое определение.

Существует множество примеров испытаний со случайными исходами, которые могут быть повторены большое число раз в одинаковых условиях. Назовем частотой какого-либо случайного события A в данной серии из n испытаний отношение m/n числа m тех испытаний, в которых событие A наступило, к общему их числу. Наличие у события A при определенных условиях вероятности, равной p, проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события A приблизительно равна p. Так, например, различные исследователи проводили опыты по бросанию монеты (n испытаний, m — число выпадений “герба”):

Rendered by QuickLaTeX.com

И чем больше число испытаний n, тем реже встречаются сколь-нибудь значительные отклонения частоты m/n от вероятности p — частота отклонений становится все меньше. Это утверждение о близости частоты и вероятности математически уточняется законом больших чисел в форме Бернулли.

Теорема. Пусть вероятность наступления некоторого события A в последовательности n независимых испытаний постоянна и равна p, пусть mu — число появлений события A во всех n испытаниях. Тогда для любых varepsilon,eta>0 при достаточно большом n имеет место неравенство

    [P{|mu/n-p|<varepsilon}ge1-eta.]

Доказательство. Вычислим суммы:

    [sum_{m=0}^nP_n(m),sum_{m=0}^nmP_n(m),sum_{m=0}^nm^2P_n(m).]

Ясно, что

    [sum_{m=0}^nP_n(m)=1.]

Теперь

    [begin{array}{l} displaystyle sum_{m=0}^nmP_n(m)=sum_{m=1}^nmP_n(m)= sum_{m=1}^nm{n!over m!(n-m)!}p^mq^{n-m}=\[3mm] displaystyle =sum_{m=1}^n{n!over (m-1)!(n-m)!}p^{m-1}q^{n-m}= npsum_{m=1}^n{(n-1)!over (m-1)!(n-m)!}p^{m-1}q^{n-m}=\[3mm] displaystyle =npsum_{m=1}^nC_{n-1}^{m-1}p^{m-1}q^{n-m}= npsum_{k=0}^{n-1}C_n^kp^kq^{(n-1)-k}=np. end{array}]

Итак,

    [sum_{m=0}^nmP_n(m)=np.]

Далее

    [begin{array}{l} displaystyle sum_{m=0}^nm^2P_n(m)=sum_{m=0}^nm(m-1+1)P_n(m)=\ displaystyle =sum_{m=0}^nmP_n(m)+sum_{m=0}^nm(m-1)P_n(m). end{array}]

Первая сумма правой части нам известна, поэтому

    [begin{array}{l} displaystyle sum_{m=0}^nm^2P_n(m)=np+sum_{m=1}^nm(m-1){n!over m!(n-m)!}p^mq^{n-m}=\[3mm] displaystyle =np+sum_{m=2}^nm(m-1){n!over m!(n-m)!}p^mq^{n-m}=\[3mm] displaystyle =np+n(n-1)p^2sum_{m=2}^n{(n-2)!over (m-2)!(n-m)!}p^{m-2}q^{n-m}=\[3mm] displaystyle =np+n(n-1)p^2sum_{k=0}^{n-2}{(n-2)!over k!(n-2-k)!}p^kq^{n-2-k}=\[3mm] =np+n(n-1)p^2=n^2p^2+np(1-p)=n^2p^2+npq. end{array}]

Таким образом,

    [sum_{m=0}^nm^2P_n(m)=n^2p^2+npq.]

Поскольку события displaystyleleft|{muover n}-pright|<varepsilon и displaystyleleft|{muover n}-pright|gevarepsilon противоположны, то

    [Pleft{left|{muover n}-pright|gevarepsilonright}=1- Pleft{left|{muover n}-pright|<varepsilonright}.]

В силу теоремы сложения вероятностей

    [Pleft{left|{muover n}-pright|gevarepsilonright}= sum P_n(m),]

где сумма распространена на те значения m, для которых displaystyleleft|{mover n}-pright|gevarepsilon. Но для этих значений m

    [{displaystyleleft({mover n}-pright)^2over varepsilon^2}ge1,]

и поэтому

    [Pleft{left|{muover n}-pright|gevarepsilonright}le sum {displaystyleleft({mover n}-pright)^2over varepsilon^2}P_n(m),]

где сумма по-прежнему распространена на те значения m, для которых displaystyleleft|{mover n}-pright|gevarepsilon. Очевидно, что эта сумма может быть только увеличена, если распространить ее на все значения m от 0 до n. Следовательно, используя приведенные выше равенства, получаем

    [begin{array}{l} displaystyle Pleft{left|{muover n}-pright|gevarepsilonright}le sum_{m=0}^n {displaystyleleft({mover n}-pright)^2over varepsilon^2}P_n(m)=\[3mm] displaystyle {1over n^2varepsilon^2}sum_{m=0}^n(m-np)^2P_n(m)={1over n^2varepsilon^2}left[sum_{m=0}^nm^2P_n(m)-right.\[3mm] displaystyle left.2npsum_{m=0}^nmP_n(m)+n^2p^2sum_{m=0}^nP_n(m)right]=\[3mm] displaystyle ={1over n^2varepsilon^2}(npq+n^2p^2-2np^2+n^2p^2)={pqover nvarepsilon^2}. end{array}]

Отсюда видно, что для любого положительного varepsilon мы можем сделать вероятность displaystyle Pleft{left|{muover n}-pright|<varepsilonright} сколь угодно близкой к 1. Теорема доказана.

И еще одно — аксиоматическое — определение вероятности.

Пусть задано вероятностное пространство, т.е. тройка (Omega,{cal A},P), где Omega={omega} — непустое множество, элементы omega которого интерпретируются как взаимно исключающие исходы изучаемого явления; {cal A} — набор подмножеств множества Omega, называемых событиями (предполагается, что множество {cal A} содержит Omega и замкнуто относительно взятия противоположного события и суммы событий, т.е. {cal A} является алгеброй); вероятность P — функция, определенная на событиях Ain{cal A} и удовлетворяющая следующим условиям:

1. P(A)ge0 при любом Ain{cal A};

2. P(Omega)=1;

3. displaystyle P(cup_{k=1}^nA_k)=sum_{k=1}^nP(A_k), если A_iA_j={} при любых ine j.

Задачи.

1. Круг разделен на n равных секторов. В круг наудачу бросают шарик.

а) Пусть n=3. Выясните, сколько раз надо бросить шарик, чтобы вероятность попадания хотя бы один раз в отмеченный сектор была больше 0,5.

б) Пусть n=3. Выясните, какова вероятность того, что при 10 бросаниях шарика будет ровно два попадания в отмеченный сектор.

в) Шарик бросают в круг n раз. Докажите, что вероятность p_n того, что при этом не будет ни одного попадания в отмеченный сектор, меньше 0,5.

г) Найдите в условиях предыдущего пункта displaystyle lim_{ntoinfty} p_n.

2. Проведено 20 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании трех монет. Найдите вероятность того, что хотя бы в одном испытании появятся три “герба”.

3. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 1/10. Каковы вероятности того, что сообщение из 10 знаков:

а) не будет искажено;

б) содержит ровно 3 искажения;

в) содержит не более трех искажений?

4. Испытание заключается в бросании трех игральных костей. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях ровно два раза выпадет по три единицы.

Ссылка на основную публикацию