9. Модуль вещественного числа и его свойства

Определение. Модуль вещественного числа a — это само число a, если age0, и противоположное число - a, если a <0.

    [|a|=left{ begin{array}{ll} a,& age0,\ -a,& a <0. end{array}right.]

Свойства модуля

1. ||a|-|b||le |a+b|le|a|+|b|,

|a+b|=|a|+|b|Leftrightarrow abge0.

2. |ab|=|a|cdot|b|.

3. |a-b| — это расстояние между точками a и b на числовой оси.

Доказательство.

1. Докажем сначала, что |a+b|le|a|+|b|.

Рассмотрим несколько случаев (в этих случаях по-разному раскрываются модули):

    [begin{array}{l} a,bge0,\ |a+b|=a+bquad |a|+|b|=a+b,\ |a+b|le|a|+|b|,\ a,b<0,\ |a+b|=-a-bquad |a|+|b|=-a-b,\ |a+b|le|a|+|b|,\ age0,b<0,a+b>0,\ |a+b|=a+bquad |a|+|b|=a-b,\ a+b<a-b,\ |a+b|le|a|+|b|,\ age0,b<0,a+b<0,\ |a+b|=-a-bquad |a|+|b|=a-b,\ -a-b<a-b,\ |a+b|le|a|+|b|. end{array}]

Левая часть неравенства получается, если в доказанном неравенстве заменить a на a+b, b — на -b, а затем a — на a+b, а b — на -a.

2.

    [begin{array}{l} |ab|=|a|cdot|b|,\ a,bge0,\ |ab|=abquad |a|cdot|b|=abRightarrow |ab|=|a|cdot|b|,\ a,b<0,\ |ab|=(-a)cdot(-b)=abquad |a|cdot|b|=(-a)cdot(-b)=ab,\ age0,b<0,\ |ab|=a(-b)=-abquad |a|cdot|b|=a(-b)=-ab,\ |ab|=|a|cdot|b|. end{array}]

Ссылка на основную публикацию