8. Несколько полезных неравенств

1. a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ac.

Доказательство.

    [begin{array}{l} displaystyle a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac={1over 2}(2a^2+2b^2+2c^2 -2ab-2ac-2bc)=\[3mm] displaystyle ={1over 2}[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2) +(b^2-2bc+c^2)]=\[3mm] displaystyle ={1over 2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]ge0. end{array}]

2. displaystyle a,b>0Rightarrow {a+bover 2}gesqrt{ab}.

Доказательство.

    [displaystyle {a+bover 2}-sqrt{ab}={a+b-2sqrt{ab}over 2}={(sqrt{a}-sqrt{b})^2over 2}ge0 .]

3. displaystyle a,b,c,d>0Rightarrow {a+b+c+dover 4}gesqrt[4]{abcd}.

Доказательство.

    [begin{array}{l} displaystyle {a+b+c+dover 4}={{a+bover 2}+{c+dover 2}over 2}ge{sqrt{ab}+sqrt{cd}over 2}ge\[3mm] gesqrt{sqrt{ab}cdotsqrt{cd}}=sqrt[4]{abcd}. end{array}]

4. displaystyle a,b,c>0Rightarrow {a+b+cover 3}gesqrt[3]{abc}.

Доказательство. Положим

    [displaystyle m={a+b+cover 3} .]

Тогда

    [begin{array}{l} displaystyle m={a+b+c+mover 4}gesqrt[4]{abcm},\[2mm] m^4ge abcm,\ m^3ge abc,\ mgesqrt[3]{abc}. end{array}]

Примеры. Доказать

1. a^4+b^4+c^4ge abc(a+b+c).

    [begin{array}{l} a^4+b^4+c^4ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2ge abcdot bc+abcdot ac+ accdot bc=abc(a+b+c). end{array}]

2. a,b,cge0Rightarrow (a+b)(a+c)(b+c)ge8abc.

    [left.begin{array}{l} a+bge2sqrt{ab},\ b+cge2sqrt{bc},\ a+cge2sqrt{ac}, end{array}right|Rightarrow (a+b)(a+c)(b+c)ge8abc.]

3. displaystyle a,b,c>0Rightarrow(a+b+c)left({1over a}+{1over b}+{1over c}right)ge9.

    [begin{array}{l} a+b+cge3sqrt[3]{abc},\ displaystyle {1over a}+{1over b}+{1over c}ge3sqrt[3]{{1over a}cdot{1over b}cdot{1over c}},\[3mm] displaystyle (a+b+c)left({1over a}+{1over b}+{1over c}right)ge9. end{array}]

Задачи.

Докажите неравенства:

1. a_1,a_2,dots,a_nge0,a_1a_2dots a_n=1

    [(1+a_1)(1+a_2)dots(1+a_n)ge2^n.]

2. a,b,cge0Rightarrow ab+ac+bcge asqrt{bc}+bsqrt{ac}+csqrt{ab}.

3. a,b,cge0Rightarrow a^{16}+b^{16}+c^{16}ge a^5b^5c^5(a+b+c).

4. a^4+b^4+2c^4ge4abc^2.

5^{*}. x,y,zge0,x+y+z=1Rightarrow

    [displaystyle left(1+{1over x}right)left(1+{1over y}right)left(1+{1over z}right)ge64 .]

6. displaystyle {a^3+b^3over 2}geleft({a+bover 2}right)^3 (a,b>0).

7. sqrt[n]{2+sqrt{3}}+sqrt[n]{2-sqrt{3}}>2.

8. Докажите, что если для уравнения x^2+px+q=0 дискриминант {cal D} неотрицателен, то это же верно и для уравнения

    [x^2+(p^2+pq)x+p^3q+p^2q+q^3-2pq^2=0.]

9. Пусть p_1p_2=2(q_1+q_2). Докажите, что по крайней мере одно из уравнений

    [x^2+p_1x+q_1=0,qquad x^2+p_2x+q_2=0]

имеет неотрицательный дискриминант.

10. Докажите, что

а) при любом значении lambdane-1 дискриминант {cal D} уравнения

    [(x-a)(x-c)+lambda(x-b)(x-d)=0,]

где a<b<c<d, положителен.

б) при любых значениях a,b,c,d дискриминант уравнения

    [(x-a)(x-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c)=0]

неотрицателен.

Ссылка на основную публикацию