7. Свойства неравенств

Определение. a>b означает, что a-b — положительное число, a<b означает, что a-b — отрицательное число, age b означает, что a>b или a=b.

Свойства неравенств

Свойства неравенств следуют из свойств вещественных чисел.

1. Для любых чисел a и b справедливо одно и только одно из следующих трех утверждений (трихотомия)

    [a>b,a=b,a<b.]

2. a положительно Leftrightarrow a>0,

a отрицательно Leftrightarrow a<0.

3. Транзитивность

    [left.begin{array}{l} a>b\ b>c end{array}right|Rightarrow a>c.]

4. a>bLeftrightarrow b<a.

Доказательство.

    [begin{array}{l} a>bRightarrow a-b>0Rightarrow b-a<0Rightarrow b<a,\ b<aRightarrow b-a<0Rightarrow a-b>0Rightarrow a>b. end{array}]

5. a>bRightarrow a+c>b+c.

Доказательство. a>bRightarrow a-b>0Rightarrow (a+c)-(b+c)>0Rightarrow a+c>b+c.

6. a>b,c>dRightarrow a+c>b+d.

Доказательство.

    [begin{array}{l} a>bRightarrow a-b>0,\ c>dRightarrow c-d>0. end{array}]

Сложение положительных чисел

    [(a-b)+(c-d)>0Rightarrow a+c>b+d.]

7. а) a>b,c>0Rightarrow ac>bc,

б) a>b,c<0Rightarrow ac<bc.

Доказательство. a>bRightarrow a-b>0. Пользуемся свойствами умножения положительных чисел.

Если c>0, то (a-b)c>0Rightarrow ac-bc>0Rightarrow ac>bc,

если c<0, то (a-b)c<0Rightarrow ac-bc<0Rightarrow ac<bc.

8. a>bge0,c>dge0Rightarrow ac>bd.

Доказательство.

    [left.begin{array}{l} a>b,c>0Rightarrow ac>bc,\ c>d,bge0Rightarrow bcge bd, end{array}right|Rightarrow ac>bd.]

Следствие. a>bge0,ninmathbb{N}Rightarrow a^n>b^n.

Доказательство. Нужно перемножить неравенство a>bn раз.

9. displaystyle a>b,a,b>0Rightarrow {1over a}<{1over b}.

Доказательство.

    [left.begin{array}{l} displaystyle {1over a}-{1over b}={b-aover ab},\[3mm] b-a<0, ( a>b),\ ab>0 end{array}right|Rightarrow {b-aover ab}<0Rightarrow {1over a}<{1over b}.]

Ссылка на основную публикацию