6. Текстовые задачи

1. Турист, идущий из деревни на железнодорожную станцию, пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает к поезду на 40 мин., если будет двигаться с той же скоростью. Поэтому остальной путь он проходит со скоростью 4 км/ч и прибывает на станцию за 45 мин. до отхода поезда. Каково расстояние от деревни до станции?

Показать решение

Ответ. 20 км.

2. Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру перенести влево (т.е. поместить в начале), то новое число будет на единицу больше утроенного первоначального числа. Найти это число.

Показать решение

Исходное число имеет вид

    [overline{ab3}=100a+10b+3,]

где a и b — цифры от 0 до 9. Перенесем последнюю цифру в начало числа, получим число

    [overline{3ab}=300+10a+b.]

По условию, второе число на единицу больше утроенного исходного, т.е. имеем уравнение

    [3cdotoverline{ab3}+1=overline{3ab} .]

Решаем его

    [begin{array}{l} 300a+30b+9+1=300+10a+b,\ 10(a-1)+b=0. end{array}]

Поскольку age0,bge0, то возможен единственный вариант a=1,b=0.

Ответ. Это число 103.

3. Самолет летел сначала со скоростью 220 км/ч. Когда ему осталось пролететь на 385 км меньше, чем он пролетел, он изменил скорость и стал двигаться со скоростью 330 км/ч. Средняя скорость самолета на всем пути оказалась равной 250 км/ч. Какое расстояние пролетел самолет?

4. Мне вдвое больше лет, чем Вам было тогда, когда мне было столько лет, сколько Вам теперь; когда Вам будет столько лет, сколько мне теперь, тогда сумма наших возрастов будет равна 63 годам. Сколько лет каждому?

Показать решение

Ответ. 21 год и 28 лет.

5. По окружности длиной 360 м движутся два тела. Одно из них проходит в секунду на 4 м больше другого и поэтому проходит всю окружность на 1 с быстрее. Сколько метров в секунду проходит каждое тело?

6. Двое рабочих, работая вместе, могут окончить некоторую работу за 12 дней. После 8 дней совместной работы один из них заболел, и другой окончил работу один, проработав еще 5 дней. За сколько дней каждый из них, работая отдельно, может выполнить эту работу?

Показать решение

Пусть вся работа 1. Пусть первый рабочий, работая один, выполняет всю работу за x дней, а второй, работая один, выполняет ее за y дней. Тогда первый за один день делает 1/x часть работы, второй — 1/y ее часть. Вместе за один день они выполняют 1/x+1/y часть всей работы. Тогда за 12 дней они выполнят всю работу:

    [left(frac{1}{x}+frac{1}{y}right)cdot12=1.]

За 8 дней совместной работы они сделали displaystyleleft(frac{1}{x}+frac{1}{y}right)cdot8 часть всей работы, за 5 дней работы второй рабочий (заболел первый) выполнил 1/ycdot5 часть работы. И поскольку была сделана вся работа, то

    [left(frac{1}{x}+frac{1}{y}right)cdot8+frac{5}{y}=1.]

Решая полученную систему уравнений, получаем y=15,x=60.

Ответ. Один рабочий выполняет работу за 60 дней, второй — за 15 дней.

7. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

8. В банке на книжку было положено 1640 руб. и в конце года было взято обратно 882 руб. Еще через год на книжке снова оказалось 882 руб. Сколько процентов начисляет банк в год?

9. На участке реки от A до B течение так медленно, что его можно принять равным нулю. На участке же от B до C оно достаточно быстро. Лодочник проплывает расстояние от A до C за 3 ч., а обратно, от C до A (вверх) за 3,5 ч. Если бы на всем протяжении от A до C течение было такое же, как от B до C, то на весь путь от A до C потребовалось бы 2{3over 4} ч. Сколько времени понадобилось бы в этих условиях, чтобы подняться вверх от C до A?

Показать решение

Пусть v_l — скорость лодки, v_t — скорость течения. Имеем уравнения

    [frac{AB}{v_l}+frac{BC}{v_l+v_t}=3]

    [frac{AB}{v_l}+frac{BC}{v_l-v_t}=3,5]

    [frac{AB}{v_l+v_t}+frac{BC}{v_l+v_t}=frac{11}{4}.]

Нужно найти

    [frac{AB}{v_l-v_t}+frac{BC}{v_l-v_t}.]

Вычитая из второго уравнения первое, получаем

    [frac{BC}{v_l+v_t}=frac{BC}{v_l-v_t}-frac{1}{2},]

откуда

    [frac{BCv_t}{v_l^2-v_t^2}=frac{1}{4}.]

Вычитая из третьего уравнения первое, получаем

    [frac{AB}{v_l+v_t}=frac{AB}{v_l}-frac{1}{4},]

откуда

    [frac{ABv_t}{v_l(v_l+v_t)}=frac{1}{4}.]

Следовательно,

    [frac{BC}{v_l-v_t}=frac{AB}{v_l}=1,75.]

Значит, displaystylefrac{BC}{v_l+v_t}=1,25 и

    [frac{AB}{v_l+v_t}=frac{3}{2},qquad frac{AB}{v_l}=frac{7}{4}.]

Разделим последнее равенство на предпоследнее:

    [1+frac{v_t}{v_l}=frac{7}{6}Rightarrow v_l=6v_t.]

Подставляем в то, что требуется найти:

displaystylefrac{AB}{5v_t}+frac{BC}{5v_t}=2,1+1,75=3,85 час.=3 час. 51 мин.

Ответ. 3 час. 51 мин.

10. Два автомобиля выезжают одновременно из A в B и из B в A. После встречи одному приходится быть в пути 2 ч., а другому 9/8 ч. Определить их скорости, если расстояние между A и B равно 210 км.

11. Два каменщика сложили вместе стену за 20 дней. За сколько дней выполнил бы работу каждый из них по отдельности, если известно, что первый из них работал бы на 9 дней дольше другого?

12. В сосуде было 20 л чистого спирта. Часть этого спирта отлили, а сосуд долили водой. Затем снова отлили столько же литров, сколько в первый раз, и сосуд опять долили водой. После этого в сосуде оказалось чистого спирта втрое меньше, чем воды. Сколько спирта отлили в первый раз?

Показать решение

Ответ. 10 литров.

Решение. Пусть отлили x л спирта и добавили x л воды. Теперь в сосуде 20-x л спирта и x л воды. Снова отлили x л жидкости из сосуда. В этих x л спирта было displaystyle xfrac{20-x}{20} л, и воды displaystyle xfrac{x}{20} л. В сосуде осталось спирта displaystyle 20-x-xfrac{20-x}{20} л, воды — displaystyle x+xfrac{x}{20}. И так как спирта осталось в 3 раза меньше, чем воды, получаем уравнение

    [3(20-x-xfrac{20-x}{20})=x+xfrac{x}{20},]

или

    [x^2-70x+600=0,]

откуда x=10 л или x=60 л, второго, очевидно, быть не может.

13. Объем A составляет m-ю часть суммы объемов B и C, а объем Bn-ю часть суммы объемов A и C. Какую часть суммы объемов A и B составляет объем C?

14. Два человека одновременно начали спускаться по движущемуся вниз эскалатору, причем один из них шел вдвое быстрее другого. Один из них насчитал 60 ступенек, а второй — 40. Сколько ступенек пришлось бы им отшагать по неподвижному эскалатору?

15. Прохожий, идущий вдоль трамвайной линии, замечает, что каждые 7 мин. его догоняет трамвай, и каждые 5 мин. проходит трамвай навстречу. Через какой интервал времени отправляются трамваи с конечного пункта? (Считается, что трамваи отправляются с конечного пункта через равные промежутки времени и движутся от одного конечного пункта до другого с постоянной скоростью без остановок, прохожий также идет с постоянной скоростью.)

Показать решение

Пусть v м/мин. — скорость прохожего, u м/мин. — скорость трамвая. Трамвай и прохожий сближаются со скоростью u+v м/мин., трамвай догоняет прохожего со скоростью u-v м/мин. Расстояния между любыми двумя трамваями одинаково, поэтому имеем

    [5(u+v)=7(u-v),]

откуда u=6v, т.е. скорость трамвая в 6 раз больше скорости прохожего.

Пусть расстояние между двумя трамваями равно s. Известно, что s/(u+v)=5 мин., т.е.

displaystylefrac{s}{7u/6}=frac{6s}{7u}=5 мин.

Интервал времени между двумя трамваями равен

displaystylefrac{s}{u}=frac{6s}{7u}cdotfrac{7}{6}=5cdotfrac{7}{5}=frac{35}{6} мин.

Ответ. displaystyle 5frac{5}{6} мин.

16. От Москвы до Санкт-Петербурга 650 км. Пассажирский поезд проходит это расстояние на 12 ч. быстрее товарного, так как его скорость на 24 км/ч больше. Какова скорость каждого поезда?

Показать решение

Пусть скорость товарного поезда x км/ч. Тогда скорость пассажирского поезда x+24 км/ч. Время, за которое проходит товарный поезд расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы, равно displaystylefrac{650}{x} час. Пассажирский поезд это же расстояние проходит за displaystylefrac{650}{x+24} час., или на 12 час. быстрее товарного, т.е. displaystylefrac{650}{x}-12 час. Получаем уравнение

    [frac{650}{x+24}=frac{650}{x}-12.]

Решаем его: x=26 км/ч — скорость товарного поезда, тогда скорость пассажирского поезда 50 км/ч.

17. Из бутыли, наполненной 12% раствором соли, отлили 1 л и долили бутыль водой, затем отлили еще литр и опять долили водой. В бутыли оказался 3% раствор соли. Какова вместимость бутыли?

Показать решение

Пусть в бутыли x л, соли в ней 0,12x л. Отлили 1 л, в нем 0,12 л соли, в бутыли соли осталось 0,12x-0,12 л. Добвавили 1 л воды, соли стало displaystylefrac{0,12x-0,12}{x}cdot100 процентов. Отлили 1 л, в нем displaystylefrac{0,12x-0,12}{x} л соли, в бутыли соли осталось 0,12x-0,12-displaystylefrac{0,12x-0,12}{x} л, или displaystyle frac{0,12x-0,12}{x}-frac{0,12x-0,12}{x^2}cdot 100 процентов, что составляет 3 %.

Решаем уравнение displaystyle frac{12(x-1)}{x}-frac{12(x-1)}{x^2}=3

Ответ: 2 л.

18. От двух кусков сплава одинакового веса, но с различным процентным содержанием меди, отрезали по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Во сколько раз отрезанный кусок меньше целого куска?

19. На складе имеется некоторое количество бочек двух образцов (размеров) общей емкостью 7000 л. Если бы все бочки были первого образца, то емкость всех бочек увеличилась бы на 1000 л. Если бы все бочки были второго образца, то емкость уменьшилась бы на 4000 л. Вычислить емкость всех бочек каждого образца в отдельности.

20. В шахматном турнире среди участников были 2 женщины. Каждый участник играл с остальными по две партии. Число партий, сыгранных мужчинами между собой, оказалось на 66 больше, чем сыгранных мужчинами с женщинами. Сколько всего было участников и сколько партий сыграно?

Показать решение

Ответ. 13 участников, 156 партий.

21. Три свечи имеют одинаковую длину, но разную толщину. Первая свеча была зажжена на час раньше двух других, зажженных одновременно. В некоторый момент горения первая и третья свечи стали одинаковой длины, а через 2 ч. после этого одинаковой длины стали первая и вторая свечи. За сколько часов сгорает первая свеча, если вторая сгорает за 12 ч., а третья — за 8 ч.?

Показать решение

Ответ. 16 час.

22. Три сестры пришли на рынок с цыплятами. Одна принесла для продажи 10, другая 16, третья 26 цыплят. До полудня они продали часть своих цыплят по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все цыплята будут проданы, они понизили цену. В результате они продали цыплят с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 руб. По какой цене они продавали цыплят до и после полудня?

Показать решение

Предположим, что первая сестра продала до обеда a цыплят, тогда после обеда она продала 10-a цыплят, вторая сестра до обеда продала b, а после обеда 16-b цыплят, третья сестра до обеда продала c, а после обеда 26-c цыплят. Пусть до обеда один цыпленок стоил x коп., а после обеда — y коп. (x> y).

Имеем систему уравнений

    [left{begin{array}{l} ax+y(10-a)=3500,\ bx+y(16-b)=3500,\ cx+y(26-c)=3500. end{array}right.]

Из первого уравнения вычтем второе, а затем из первого уравнения вычтем третье, получим два уравнения

    [begin{array}{l} (a-b)(x-y)=6y,\ (a-c)(x-y)=16y. end{array}]

Теперь из первого полученного уравнения вычтем второе:

    [(x-y)(10a-16b+6c)=0.]

Так как xne y, то 8b=5a+3c.

Теперь найдем, при каких остатках от деления на 8 у a и c будет делиться на 8 число 5a+3c. Это возможно тогда и только тогда, когда a и c дают одинаковые остатки при делении на 8 (это получается перебором всех остатков). Очевидно, что a больше b, а b больше c. Тогда, поскольку 0le ale 10, то a=10,c=2,b=7; a=9,c=1,b=6 или a=8,c=0,b=5. Подставляем каждый из этих вариантов в первые два уравнения исходной системы, находим x и y. Единственный возможный вариант

    [a=9,c=1,b=6,x=375,y=125ю]

Ответ. 3,75 руб. и 1,25 руб.

Ссылка на основную публикацию