6. Свойства множества вещественных чисел

1. Вещественные числа можно складывать, и при этом выполняются следующие законы:

(коммутативный),

(ассоциативный),

(существование нуля),

(существование противоположного элемента.

Определение. Определим разность вещественных чисел $alpha$ и $beta$ следующим образом:

2. Вещественные числа можно перемножать, и при этом выполняются следующие законы:

$alphabeta=betaalpha$ (коммутативный),

$(alphabeta)gamma=alpha(betagamma)$ (ассоциативный),

$exists 1: alphacdot1=alpha$ (существование единицы),

$forallalphane0 exists$ обратное число $displaystyle {1overalpha}: alphacdot{1overalpha}=1$ (существование обратного элемента).

Определение. Если $betane0$ , то определим частное чисел $alpha$ и $beta$ следующим образом:

Выполняется дистрибутивный закон (для сложения и умножения)

3. Каждое вещественное число, отличное от нуля, либо положительно, либо отрицательно. При этом сумма и произведение положительных чисел — положительное числа. Если $alpha$ — положительное число, то $(-alpha)$ — отрицательное, а если $alpha$ — отрицательное число, то $(-alpha)$ — положительное.

4. Каждое вещественное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, и при этом каждая бесконечная десятичная дробь является записью некоторого вещественного числа. Разные вещественные числа имеют разные десятичные записи.

Пример. Пусть $alpha$ и $beta$ — отрицательные числа. Доказать, что их произведение $alphabeta$ — положительное число.

Доказательство. Так как $alpha$ — отрицательное число, то $-alpha$ — число положительное. Число $(-alpha)beta$ — число, противоположное числу $alphabeta$ , поскольку

Аналогично, число $(-alpha)(-beta)$ противоположно числу $(-alpha)beta$ . Так как $(-alpha)(-beta)$ положительное число, то число $(-alpha)beta$ отрицательное, и $alphabeta$ — положительное число.

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40