6. Свойства множества вещественных чисел

1. Вещественные числа можно складывать, и при этом выполняются следующие законы:

    [alpha+beta=beta+alpha]

  (коммутативный),

    [(alpha+beta)+gamma=alpha+(beta+gamma)]

(ассоциативный),

    [exists 0: alpha+0=0]

(существование нуля),

    [exists (-alpha): alpha+(-alpha)=0]

(существование противоположного элемента.

Определение. Определим разность вещественных чисел alpha и beta следующим образом:

    [alpha-beta=alpha+(-beta).]

2. Вещественные числа можно перемножать, и при этом выполняются следующие законы:

alphabeta=betaalpha  (коммутативный),

(alphabeta)gamma=alpha(betagamma) (ассоциативный),

exists 1: alphacdot1=alpha (существование единицы),

forallalphane0 exists обратное число displaystyle {1overalpha}: alphacdot{1overalpha}=1 (существование обратного элемента).

Определение. Если betane0, то определим частное чисел alpha и beta следующим образом:

    [alpha:beta=alphacdot{1over beta}.]

Выполняется дистрибутивный закон (для сложения и умножения)

    [alpha(beta+gamma)=alphabeta+alphagamma.]

    [1ne0.]

3. Каждое вещественное число, отличное от нуля, либо положительно, либо отрицательно. При этом сумма и произведение положительных чисел — положительное числа. Если alpha — положительное число, то (-alpha) — отрицательное, а если alpha — отрицательное число, то (-alpha) — положительное.

4. Каждое вещественное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, и при этом каждая бесконечная десятичная дробь является записью некоторого вещественного числа. Разные вещественные числа имеют разные десятичные записи.

Пример. Пусть alpha и beta — отрицательные числа. Доказать, что их произведение alphabeta — положительное число.

Доказательство. Так как alpha — отрицательное число, то -alpha — число положительное. Число (-alpha)beta — число, противоположное числу alphabeta, поскольку

    [(-alpha)beta+alphabeta=((-alpha)+alpha)beta=0cdotbeta=0.]

Аналогично, число (-alpha)(-beta) противоположно числу (-alpha)beta. Так как (-alpha)(-beta) положительное число, то число (-alpha)beta отрицательное, и alphabeta — положительное число.

Ссылка на основную публикацию