1. Вещественные числа можно складывать, и при этом выполняются следующие законы:
(коммутативный),
(ассоциативный),
(существование нуля),
(существование противоположного элемента.
Определение. Определим разность вещественных чисел и
следующим образом:
2. Вещественные числа можно перемножать, и при этом выполняются следующие законы:
(коммутативный),
(ассоциативный),
(существование единицы),
обратное число
(существование обратного элемента).
Определение. Если , то определим частное чисел
и
следующим образом:
Выполняется дистрибутивный закон (для сложения и умножения)
3. Каждое вещественное число, отличное от нуля, либо положительно, либо отрицательно. При этом сумма и произведение положительных чисел — положительное числа. Если — положительное число, то
— отрицательное, а если
— отрицательное число, то
— положительное.
4. Каждое вещественное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, и при этом каждая бесконечная десятичная дробь является записью некоторого вещественного числа. Разные вещественные числа имеют разные десятичные записи.
Пример. Пусть и
— отрицательные числа. Доказать, что их произведение
— положительное число.
Доказательство. Так как — отрицательное число, то
— число положительное. Число
— число, противоположное числу
, поскольку
Аналогично, число противоположно числу
. Так как
положительное число, то число
отрицательное, и
— положительное число.