5. Десятичная запись рационального числа

Пусть displaystylealpha={mover n}, где m,ninmathbb{N}.

Тогда displaystylealpha_1={10mover n}-c_1={10m-c_1nover n}={m_1over n}.

Так как alpha_1<1, то alpha_1 — правильная дробь со знаменателем n. По той же причине alpha_2,alpha_3,ldots — правильные дроби со знаменателем n. Правильных дробей с данным знаменателем конечное число, следовательно, найдутся такие k и l(kne l), что alpha_k=alpha_l. Тогда

    [begin{array}{l} c_{k+1}=c_{l+1},\ alpha_{k+1}=alpha_{l+1},\ c_{k+2}=c_{l+2},\ ldots, end{array}]

то есть начиная с некоторого места цифры десятичной записи числа alpha начнут повторяться. Таким образом, рациональное число записывается бесконечной периодической десятичной дробью.

Пример. displaystylealpha={17over 35}.

    [begin{tabular}{r@{}l|l} &170&35\[-2mm] $-$&&\[-3mm] cline{3--3} &140&0,4(857142)\ cline{2--2} end{tabular}\ mbox{hskip0.2cm}begin{tabular}{r@{}l} &300\[-3mm] $-$&\[-3mm] &280\ cline{2--2} end{tabular}\ mbox{hskip0.4cm}begin{tabular}{r@{}l} &200\[-3mm] $-$&\[-3mm] &175\ cline{2--2} end{tabular}\ mbox{hskip0.6cm}begin{tabular}{r@{}l@{}l} &250& \[-3mm] $-$&&\[-3mm] &245& \ cline{2--3} end{tabular}\ mbox{hskip1cm}begin{tabular}{r@{}l@{}l} &50& \[-3mm] $-$&&\[-3mm] &35& \ cline{2--3} end{tabular}\ mbox{hskip1cm}begin{tabular}{r@{}l@{}l} &150& \[-3mm] $-$&&\[-3mm] &140& \ cline{2--3} end{tabular}\ mbox{hskip1.2cm}begin{tabular}{r@{}r} &100\[-3mm] $-$&\[-3mm] &70\ cline{2--2}  &30 end{tabular}]

Обратно: любая периодическая десятичная дробь является десятичной записью некоторого рационального числа.

Пример. alpha=0{,}207(16).

    [begin{array}{l} 1000alpha=207{,}(16),\ 100000alpha=20716,(16),\ 99000alpha=20509,\ displaystyle alpha={20509over 99000}. end{array}]

Задачи.

1. Представьте рациональное число displaystylefrac{19}{13} в виде периодической десятичной дроби.

2. Найдите рациональное число, десятичная запись которого имеет вид 0.345(876).

Ссылка на основную публикацию