Определение. Число называется корнем полинома
, если
.
В силу теоремы Безу это равносильно тому, что .
Определение. Число называется корнем кратности
полинома
, если
и
. Корни кратности
называются простыми корнями, корни кратности больше
называются кратными корнями.
Теорема. Если — корень кратности
полинома
, то
— корень кратности
полинома
. Если
— общий корень
, то
— кратный корень
.
Доказательство. Пусть — корень кратности
полинома
.
1. Если , то
— корень кратности
многочлена
.
2. Если корень
, то
и, значит,
— кратный корень многочлена
.
Основная теорема алгебры
Историю основной теоремы алгебры можно прочитать здесь.
Теорема. Любой многочлен в поле комплексных чисел имеет корень.
Схема доказательства. Пусть имеется многочлен
( будем считать равным 1. Если
, то поделим полином на
и получим полином с теми же корнями, у которого
). Рассмотрим множество точек
— окружность с центром в начале координат.
будет при этом замкнутой линией.
1. можно взять достаточно малым так, чтобы (основное влияние оказывает коэффициент
) начало координат не входило в область, где значения
(
, иначе был бы корень
).
2. Возьмем достаточно большим, так, чтобы начало координат входило в область, где
.
В силу непрерывности функция принимает значение
.
Следствие. Над полем неприводимы только полиномы первой степени.
Теорема (Виет). Пусть
— полином, а
— его разложение над полем комплексных чисел. Тогда
Доказательство получается сразу же раскрытием скобок.
Многочлены над полем вещественных чисел
Лемма. Пусть — полином с вещественными коэффициентами,
— комплексное число. Тогда
.
Доказательство. Пусть
Следствие. Если — комплексный корень полинома
с вещественными коэффициентами, то и
— корень
.
Теорема. Над полем вещественных чисел неприводимыми являются полиномы первой степени, полиномы второй степени с отрицательным дискриминантом и только они.
Доказательство. То, что указанные полиномы неприводимы, очевидно. Докажем, что других нет.
Пусть — неприводимый многочлен с вещественными коэффициентами,
. Тогда
не имеет вещественных корней, но он имеет комплексные корни.
Пусть — один из них. Тогда
— другой корень
. Значит,
.
— вещественные числа. Значит,
— полином с вещественными коэффициентами, и
делится на
. Так как
неприводим над
, то
.
— многочлен второй степени с отрицательным дискриминантом, так как в противном случае
можно было бы разложить над
.
Следствие. Любой многочлен с вещественными коэффициентами (кроме констант) можно разложить над полем на множители первой и второй степени.
Задачи.
1. Найдите коэффициенты многочлена третьей степени со старшим коэффициентом единицей, имеющего:
1) корни ;
2) корень кратности 2 и корень 3.
2. Найдите сумму квадратов корней уравнения
3. Известно, что уравнение
где , имеет 3 различных целых отрицательных корня. Найдите
.
4. Известно, что уравнение
имеет 3 вещественных корня, сумма которых равна нулю. Найдите .