4. Корни полинома. Кратные корни. Основная теорема алгебры (ОТА). Теорема Виета. Многочлены с вещественными коэффициентами

Определение. Число alpha называется корнем полинома f, если f(alpha)=0.

В силу теоремы Безу это равносильно тому, что fvdots(x-alpha).

Определение. Число alpha называется корнем кратности k полинома f, если fvdots(x-alpha)^k и fnotvdots(x-alpha)^{k+1}quad (kinmathbb{N}). Корни кратности 1 называются простыми корнями, корни кратности больше 1 называются кратными корнями.

Теорема. Если alpha — корень кратности k полинома f, то alpha — корень кратности k-1 полинома f'. Если alpha — общий корень f,f', то alpha — кратный корень f.

Доказательство. Пусть alpha — корень кратности k полинома f.

    [f(x)=(x-alpha)^kg(x),quad g(alpha)ne0.]

    [f'(x)=k(x-alpha)^{k-1}g(x)+(x-alpha)^kg'(x) =(x-alpha)^{k-1}(underbrace{kg(x)+(x-alpha)g'(x)}_{h(x)}),\ h(alpha)=kg(alpha)ne0.]

1. Если k>1, то alpha — корень кратности k-1 многочлена f'.

2. Если alpha корень f', то k>1 и, значит, alpha — кратный корень многочлена f.

Основная теорема алгебры

Историю основной теоремы алгебры можно прочитать здесь.

Теорема. Любой многочлен в поле комплексных чисел имеет корень.

Схема доказательства. Пусть имеется многочлен

    [f(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+ldots+a_n]

(a_0 будем считать равным 1. Если a_0ne1, то поделим полином на a_0 и получим полином с теми же корнями, у которого a_0=1). Рассмотрим множество точек |z|=const — окружность с центром в начале координат. f(z) будет при этом замкнутой линией.

1. |z| можно взять достаточно малым так, чтобы (основное влияние оказывает коэффициент a_n) начало координат не входило в область, где значения f(z) (a_nne0, иначе был бы корень z=0).

2. Возьмем |z| достаточно большим, так, чтобы начало координат входило в область, где f(z).

В силу непрерывности f функция принимает значение 0.

Следствие. Над полем mathbb{C} неприводимы только полиномы первой степени.

Теорема  (Виет). Пусть

    [a_0z^n+a_1z^{n-1}+ldots+a_n]

— полином, а

    [a_0(z-alpha_1)(z-alpha_2)ldots(z-alpha_n)]

— его разложение над полем комплексных чисел. Тогда

    [begin{array}{l} displaystyle alpha_1+alpha_2+ldots+alpha_n=-frac{a_1}{a_0}\[3mm] displaystyle alpha_1alpha_2+alpha_1alpha_3+ldots+alpha_{n-1}alpha_n=frac{a_2}{a_n}\[3mm] displaystyle alpha_1alpha_2alpha_3+ldots+alpha_{n-2}alpha_{n-1}alpha_n=-frac{a_3}{a_0}\[3mm] ldots\ displaystyle alpha_1alpha_2ldotsalpha_n=(-1)^nfrac{a_n}{a_0}. end{array}]

Доказательство получается сразу же раскрытием скобок.

Многочлены над полем вещественных чисел

Лемма. Пусть f — полином с вещественными коэффициентами, z — комплексное число. Тогда f(bar{z})=bar{f(z)}.

Доказательство. Пусть

    [begin{array}{l} f(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+ldots+a_{n-1}z+a_n,a_iinmathbb{R}quad(i=overline{0,n})\ bar{f(z)}=bar{a_0}bar{z}^n+bar{a_1}bar{z}^{n-1}+ldots+bar{a_{n-1}}bar{z}+bar{a_n}=\ =a_0bar{z}^n+a_1bar{z}^{n-1}+ldots+a_{n-1}bar{z}+a_n=f(bar{z}). end{array}]

Следствие. Если z — комплексный корень полинома f с вещественными коэффициентами, то и bar{z} — корень f.

Теорема. Над полем вещественных чисел неприводимыми являются полиномы первой степени, полиномы второй степени с отрицательным дискриминантом и только они.

Доказательство. То, что указанные полиномы неприводимы, очевидно. Докажем, что других нет.
Пусть f — неприводимый многочлен с вещественными коэффициентами, {rm deg}, fge2. Тогда f не имеет вещественных корней, но он имеет комплексные корни.

Пусть z — один из них. Тогда bar{z} — другой корень f. Значит, fvdots(x-z)(x-bar{z}).

    [g(z)=(x-z)(x-bar{z})=x^2-(z+bar{z})x+zbar{z}.]

z+bar{z},zbar{z} — вещественные числа. Значит, g — полином с вещественными коэффициентами, и f делится на g. Так как f неприводим над mathbb{R}, то {rm deg}, f={rm deg}, g=2. f — многочлен второй степени с отрицательным дискриминантом, так как в противном случае f можно было бы разложить над mathbb{R}.

Следствие. Любой многочлен с вещественными коэффициентами (кроме констант) можно разложить над полем mathbb{R} на множители первой и второй степени.

Задачи.

1. Найдите коэффициенты многочлена третьей степени со старшим коэффициентом единицей, имеющего:

1) корни 1, 2, 3;

2) корень 1 кратности 2 и корень 3.

2. Найдите сумму квадратов корней уравнения

    [z^{1995}-25z^3+2z-(i+3)=0.]

3. Известно, что уравнение

    [ax^3+bx^2+cx+6=0,]

где ainmathbb{Z}, имеет 3 различных целых отрицательных корня. Найдите a.

4. Известно, что уравнение

    [x^3+(a^2-1)x^2-7ax+3(a+1)=0]

имеет 3 вещественных корня, сумма которых равна нулю. Найдите a.

Ссылка на основную публикацию