4. Десятичная запись вещественного числа

Определение. Числа рациональные и иррациональные называют вещественными или действительными числами.

Обозначение. mathbb{R} (real) — множество вещественных чисел.

Пусть alphainmathbb{R},alpha>0.

Найдем наибольшее целое число a, не превосходящее alpha: ainmathbb{Z},alealpha. Предположим, что у нас получилось a=4, ale alpha<a+1 (см. рис. 7):

Рис. 7

Разобьем отрезок [a;a+1] на 10 равных частей и выберем ту из этих частей, которая содержит alpha (рис. 8):

Рис. 8

    [[a;a+1], alphainleft[ a,c_1;a,c_1+{1over 10}right],]

где c_1 — десятичная цифра.

Разобьем отрезок на 10 равных частей и выберем ту из этих частей, которая содержит alpha (рис. 9):

Рис. 9

    [alphainleft[ a,c_1c_2;a,c_1c_2+{1over 10^2}right],]

и т.д.

Если alpha=sqrt{2}, то получим

    [a=1,c_1=4,c_2=1,c_3=4,c_4=2,ldots]

Определение. Бесконечная десятичная дробь a,c_1c_2c_3ldots, где a,c_1,c_2,c_3,ldots получаются указанным способом, называется десятичной записью числа alpha.

    [alpha=a,c_1c_2c_3ldots]

Возникает вопрос: одна ли десятичная запись у числа alpha?

Если в процессе построения десятичной записи alpha никогда не окажется на границе двух отрезков, то alpha имеет одну десятичную запись. Если же alpha на каком-либо шаге оказалось на границе двух отрезков (так будет, если alpha — конечная десятичная дробь и только в этом случае), то можно выбрать любой из этих отрезков. Если выберем правый отрезок, то на всех следующих шагах будет выбираться самый левый из 10 отрезков и, следовательно, все следующие цифры в десятичной записи — нули.

Если же выберем левый отрезок, то на всех следующих шагах придется выбирать самый правый из десяти отрезков и, следовательно, все следующие цифры — девятки.

Пример. Рассмотрим оба варианта записи на примере alpha=7{,}48. На рис. 10 приведен первый вариант (выбирается все время левый отрезок), а на рис. 11 — второй вариант (выбирается все время правый отрезок).

I случай.




и т.д.

Рис. 10

alpha=7{,}480000ldots

II случай.


и т.д.

Рис. 11

alpha=7{,}479999ldots

Обычно в этих случаях запись с девятками не используется.

Можно доказать, что если alpha=0{,}c_1c_2c_3ldots, то 10alpha=c_1{,}c_2c_3c_4ldots

Пусть 0<alpha<1. Строим десятичную запись

    [begin{array}{ll} c_1=[10alpha],&alpha_1=10alpha-c_1,\ c_2=[10alpha_1],&alpha_2=10alpha_1-c_2,\ c_3=[10alpha_2],&alpha_3=10alpha_2-c_3,\ ldots& end{array}]

Пояснение

    [begin{array}{l} 10alpha=c_1{,}c_2c_3dots,\ alpha_1=10alpha-c_1=0{,}c_2c_3c_4dots,\ 10alpha_1=c_2{,}c_3c_4c_5dots,\ alpha_2=10alpha_1-c_2=0{,}c_3c_4c_5dots,\ ldots end{array}]

Ссылка на основную публикацию