38. Предел монотонной ограниченной последовательности. Существование корня степени n из вещественного числа. Число e

Определение. Пусть (x_n) — произвольная числовая последовательность. Построим новую последовательность по правилу

    [s_n=x_1+x_2+ldots+x_n .]

Последовательность (s_n) называется последовательностью частичных сумм последовательности (x_n).

Определение. Пусть (x_n) — последовательность, (s_n) — последовательность частичных сумм последовательности (x_n). Предел последовательности (s_n) называется суммой всех членов последовательности (x_n).

Найдем сумму всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т.е. геометрической прогрессии со знаменателем, по модулю меньшим 1.

Пусть (x_n) — геометрическая прогрессия с первым членом x_1 и знаменателем q,quad|q|<1. displaystyle lim_{ntoinfty}q^n=0. Действительно, из неравенства Бернулли

    [(1+a)^n>na]

имеем

    [{1over (1+a)^n}<{1over na} .]

Поскольку |q|<1, то |q| представимо в виде displaystyle |q|={1over 1+a},a>0. Тогда

    [begin{array}{l} displaystyle |q|^n={1over (1+a)^n}<{1over na},\[3mm] displaystyle 0<|q^n|<{1over na}. end{array}]

Применим теорему о сжатой последовательности

    [0<|q^n|<{1over na} .]

Имеем |q^n|to0Longrightarrow q^nto0.

Пусть (x_n) — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Тогда

    [begin{array}{l} displaystyle lim_{ntoinfty}s_n=lim_{ntoinfty}{x_1over 1-q}(1-q^n)={x_1over 1-q}lim_{ntoinfty}(1-q^n)=\[3mm] displaystyle ={x_1over 1-q}left(1-lim_{ntoinfty}q^nright)={x_1over 1-q}. end{array}]

Если через S обозначить сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, то

    [S={x_1over 1-q}.]

Вспомним аксиому непрерывности множества вещественных чисел.

Любое ограниченное множество Ainmathbb{R} имеет точную верхнюю границу (т.е. существует наименьшая из всех верхних границ).

Из определения точной верхней границы множества следует характеристическое свойство точной верхней границы:

Число z_0 называется точной верхней границей множества A, если

1) z_0 — верхняя граница A;

2) forall varepsilon>0 exists ain A: a>A-varepsilon.

Обозначение z_0=sup A.

Замечание. Аналогично определяется точная нижняя граница множества Ainf A.

Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности x_n. Докажем, что точная верхняя граница для последовательности z_0=sup{x_n} и будет ее пределом.

Действительно, по определению точной верхней границы

    [forall n x_nle z_0.]

Кроме того, какое бы ни взять число varepsilon>0, найдется такой номер N, что

    [x_N>z_0-varepsilon.]

Так как последовательность монотонна, то при n>N будет x_nge x_N, а значит, и x_n>z_0-varepsilon и выполняются неравенства

    [0le z_0-x_n<varepsilon vee |x_n-z_0|<varepsilon,]

откуда и следует, что displaystyle lim_{ntoinfty}x_n=z_0.

Приложения.

I. Существование sqrt[k]{a}, ainmathbb{R}

Пусть ainmathbb{R},kinmathbb{N}. Корень k-й степени из a — такое вещественное число xi, что xi^k=a. Рассмотрим случай, когда a>0 и будем искать xi>0, удовлетворяющее этому соотношению, т.е. арифметическое значение корня.

Возьмем возрастающую последовательность рациональных чисел r_nto a.

Докажем, что последовательность sqrt[k]{r_n}toxi.

Последовательность sqrt[k]{r_n} возрастает. Действительно, предположим противное: sqrt[k]{r_m}>sqrt[k]{r_{m+1}}. Тогда, по свойствам неравенств, будем иметь r_m>r_{m+1}, что противоречит возрастанию (r_n). Аналогично доказывается ее ограниченность. Возьмем рациональное число r>a. Тогда, очевидно, forall n sqrt[k]{r_n}<sqrt[k]{r}. Таким образом, последовательность (sqrt[k]{r_n}) имеет предел. По теореме о пределе произведения

    [a=lim_{ntoinfty}r_n=left(lim_{ntoinfty}sqrt[k]{r_n}right)^k,]

т.е. displaystyle lim_{ntoinfty}sqrt[k]{r_n}=xi.

II. Число e(число Эйлера, число Непера)

Рассмотрим последовательность

    [x_n=left(1+{1over n}right)^n.]

Докажем, что эта последовательность имеет предел. Применим бином Ньютона

    [begin{array}{l} displaystyle x_n=left(1+{1over n}right)^n=1+ncdot{1over n}+{n(n-1)over 1cdot2}cdot{1over n^2}+ldots+\[3mm] displaystyle +{n(n-1)ldots(n-k+1)over 1cdot2ldots k}{1over n^k}+ldots+{n(n-1)ldots(n-n+1)over 1cdot2ldots n}{1over n^n}=\[3mm] displaystyle =1+1+{1over 2!}left(1-{1over n}right)+{1over 3!}left(1-{1over n}right)left(1-{2over n}right)+ldots+\[3mm] displaystyle +{1over n!}left(1-{1over n}right)ldotsleft(1-{n-1over n}right). end{array}]

Если от x_n перейти к x_{n+1}, т.е. увеличить n на единицу, то, прежде всего, добавится новый, n+2-й положительный член, каждый же из написанных n+1 членов увеличится, так как любой множитель в скобках вида displaystyle 1-{kover n} заменится большим множителем displaystyle 1-{kover n+1}. Отсюда и следует, что x_{n+1}>x_n, т.е. последовательность (x_n) возрастает.

Покажем, что она ограничена сверху. Опустив в выражении для x_n все множители в скобках, мы этим увеличим его, так что

    [x_n<2+{1over 2!}+{1over 3!}+ldots+{1over n!}=y_n.]

Заменив каждый множитель в знаменателях дробей числом 2, мы еще увеличим полученное выражение:

    [y_n<2+{1over 2}+{1over 2^2}+ldots+{1over 2^{n-1}}.]

Но прогрессия, начинающаяся членом 1/2, имеет сумму меньше 1, поэтому x_n<y_n<3.

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815–1897), будучи восемь лет преподавателем католической гимназии в городе Браунсберге, усиленно занимался математикой. Директор гимназии с уважением относился к его занятиям математикой. Однажды Вейерштрасс утром не явился на урок, дав ученикам повод пошуметь в классе. Директор гимназии, придя на квартиру к Вейерштрассу, к своему удивлению обнаружил, что он всю ночь занимался математикой и, не заметив наступившего уже утра, продолзжал свои размышления перед горящей лампой. Вскоре в знаменитом “Журнале чистой и прикладной математики”, издаваемом А.Л. Крелле (1780–1855), появилась статья Вейерштрасса по теории функций Абеля с датой 11 сентября 1853 года.

Много позднее сестра Вейерштрасса Клара в одном из писем Софье Владимировне Ковалевской (1850–1891) от 22 марта 1882 года писала: “Математики — самоистязатели”. Когда Карл одержим математикой, то даже “за едой он указательным пальцем правой руки пишет формулы на поверхности другой руки.”

Задачи.

1) Докажите, что данные последовательности имеют предел и найдите его:

1. displaystyle a_n=frac{3}{n} .
2. a_{n+1}=a_n^2+5a_n+3, a_1=-2 .
3. a_{n+1}=sqrt{6+a_n}, a_1=2 .

2) Докажите, что последовательность

    [x_{n+1}=x_n^2+6x_n+6]

не имеет предела.

3) выясните, при каких значениях a последовательность (x_n):

    [x_{n+1}=x_n^2+5x_n+4, x_1=a]

имеет предел.

4) Найдите пределы последовательностей:

1. displaystyle S_n=sum_{k=1}^nfrac{1}{2^k} .

2. displaystylesum_{k=1}^nfrac{1+3+3^3+ldots+3^k}{5^{k+2}} .

Ссылка на основную публикацию