37. Неравенство Бернулли. . Вычисление пределов

Теорема. Пусть (a_n) и (b_n) — сходящиеся последовательности, a и b — их пределы соответственно. Тогда

1) |(a_n+b_n)-(a+b)|le|a_n-a|+|b_n-b|;

2) exists c>0: |a_nb_n-ab|le c(|a_n-a|+|b_n-b|);

3) если (b_n) отделена от нуля и bne0, то exists c>0:

    [left|{1over b_n}-{1over b}right|le c|b_n-b|.]

Доказательство.

1)

    [|(a_n+b_n)-(a+b)|=|(a_n-a)+(b_n-b)|le|a_n-a|+|b_n-b| .]

2)

    [begin{array}{l} |a_nb_n-ab|=|(a_nb_n-ab_n)+(ab_n-ab)|le\ le|b_n(a_n-a)|+|a(b_n-b)|=\ =|b_n||a_n-a|+|a||b_n-b|<c(|a_n-a|+|b_n-b|).\ forall n |b_n|<M,c>M,c>|a|. end{array}]

3)

    [begin{array}{l} displaystyle left|{1over b_n}-{1over b}right|={|b_n-b|over |b_n||b|} ,\[3mm] displaystyle {1over |b_n||b|}|b_n-b|<c|b_n-b| ,\[3mm] displaystyle left|{1over b_n}right|<M,c={Mover |b|}. end{array}]

Теорема. Пусть a_nto a,b_nto b. Тогда a_n+b_nto a+b.

Доказательство. Нужно доказать, что forallvarepsilon>0 exists N: forall n>N

    [|a_n+b_n-(a+b)|<varepsilon.]

По предыдущей теореме

    [|(a_n+b_n)-(a+b)|le|a_n-a|+|b_n-b|.]

Возьмем произвольное varepsilon>0.

Так как a_nto a, то exists N_1: forall n>N_1 |a_n-a|<varepsilon/2;

так как b_nto b, то exists N_2: forall n>N_2 |b_n-b|<varepsilon/2.

Возьмем N=max{N_1,N_2}. Тогда forall n>N

    [|(a_n+b_n)-(a+b)|<varepsilon.]

Теорема. Пусть a_nto a,b_nto b. Тогда a_nb_nto ab.

Доказательство. Нужно доказать, что forallvarepsilon>0 exists N: forall n>N

    [|a_nb_n-ab|<varepsilon.]

По предыдущей теореме

    [exists c>0: |a_nb_n-ab|le c(|a_n-a|+|b_n-b|) .]

Возьмем произвольное varepsilon>0.

Так как a_nto a, то exists N_1: forall n>N_1 |a_n-a|<varepsilon/2c;

так как b_nto b, то exists N_2: forall n>N_2 |b_n-b|<varepsilon/2c.

Возьмем N=max{N_1,N_2}. Тогда forall n>N

    [|a_nb_n-ab|<cleft({varepsilonover 2c}+{varepsilonover 2c}right)=varepsilon.]

Теорема. Пусть b_nto b,forall n b_nne0. Тогда 1/b_nto 1/b.

Доказательство. Последовательность (b_n) отделена от нуля. В промежутке displaystyle left( b-{|b|over 2},b+{|b|over 2}right) содержатся все члены последовательности, начиная с N-го. Из тех членов последовательности, которые не содержатся в этом промежутке, выберем самый близкий к нулю и обозначим расстояние от него до нуля через M. Тогда displaystyle forall n |b_n|gemin{ M,{|b|over 2}}, а значит, (b_n) отделена от нуля. Тогда последовательность (1/b_n) ограничена, т.е. displaystyle exists c>0: forall n left|{1over b_n}right|<c. Нужно доказать, что

    [begin{array}{l} displaystyle forallvarepsilon>0 exists N: forall n>N left|{1over b_n}-{1over b}right|<varepsilon.\[3mm] displaystyle left|{1over b_n}-{1over b}right|={|b_n-b|over |b_n||b|}<{cover |b|}|b_n-b|. end{array}]

Найдем такой номер N, что displaystyle forall n>N |b_n-b|<varepsilon{|b|over c}.

Тогда forall n>N будет выполняться неравенство

    [left|{1over b_n}-{1over b}right|<varepsilon.]

Теорема. Пусть a_nto a,b_nto b,bne0,forall n b_nne0. Тогда a_n/b_nto a/b.

Доказательство. По предыдущей теореме displaystyle {1over b_n}to{1over b}. Применим к последовательностям a_n и 1/b_n теорему о пределе произведения. Получим
displaystyle a_ncdot{1over b_n}to acdot{1over b}.

Неравенство Бернулли (Bernoulli)

Если ninmathbb{N},n>1, и gamma>1, то

    [gamma^n>1+n(gamma-1) .]

Действительно, положив gamma=1+lambda, где lambda>0, по формуле бинома Ньютона будем иметь

    [(1+lambda)^n=1+nlambda+ldots;]

так как ненаписанные члены положительны, то

    [(1+lambda)^n>1+nlambda,]

что равносильно неравенству Бернулли.

Замечание. Другое доказательство неравенства Бернулли можно найти здесь.

Рассмотрим отношение a^n/n^k, при k>0,a>1 представляющее неопределенность вида displaystyle {inftyover infty}.

Положим a=1+lambda,lambda>0. По формуле бинома Ньютона имеем

    [a^n=(1+lambda)^n=1+nlambda+{n(n-1)over 2}lambda^2+ldots>{n(n-1)over 2}lambda^2.]

Так как для n>2, очевидно, n-1>n/2, то

    [a^n>{(a-1)^2over 4}n^2.]

При k=1 получаем сразу

    [{a^nover n}>{(a-1)^2over 4}n,]

так что

    [lim_{ntoinfty}{a^nover n}=+infty .]

Так как этот результат верен при любом a>1, то, взяв k>1, можем написать (по крайней мере, для достаточно больших n)

    [{a^nover n^k}=left[{(a^{1over k})^nover n}right]^k>{(a^{1/k})^nover n} ,]

откуда

    [lim_{ntoinfty}{a^nover n^k}=+inftyqquad(a>1) .]

Задачи.

1) Вычислите следующие пределы, пользуясь теоремами о пределе суммы, произведения и частного:

1. displaystyle lim_{ntoinfty}frac{n+1}{n+2} .

2. displaystyle lim_{ntoinfty} frac{n^2+5n}{3n^2-7n-1} .

3. displaystyle lim_{ntoinfty}left(sqrt{n}-sqrt{n-1}right) .

4. displaystyle lim_{ntoinfty} frac{2^n+3^n}{3^{n+1}+2^{n+1}} .

2) Постройте на координатной плоскости совокупность точек с координатами, удовлетворяющими уравнению

displaystyle y=lim_{ntoinfty} |y|^n=lim_{ntoinfty}|x|^n .

Ссылка на основную публикацию