34. Дифференциальное уравнение показательного роста

Задача. Найти все функции f, заданные на всей числовой оси, такие что для некоторого вещественного k справедливо утверждение

    [forall x f^{prime}(x)=kf(x) .]

Одну функцию, обладающую этим свойством, найти легко:

    [xmapsto e^{kx} .]

Пусть f — произвольная функция, обладающая этим свойством. Рассмотрим функцию g, заданную на всей числовой оси по правилу

    [g(x)=frac{f(x)}{e^{kx}} ,]

    [g^{prime}(x)=frac{f^{prime}(x)e^{kx}-f(x)ke^{kx}}{left( e^{kx}right)^2}=frac{f^{prime}(x)-kf(x)}{e^{kx}}=0 .]

    [g=const]

Следовательно, существует cinmathbb{R}: f(x)=ce^{kx}.

Задачи.

1) Найдите решения уравнений показательного роста, удовлетворяющих условиям:

1. y^{prime}=2y,y=1 при x=2;

2. y^{prime}-5y=0,y=0 при x=pi.

2) Период полураспада урана U^{235} равен 4,5cdot10^9 лет. Через сколько лет останется 99,99% исходного количества U^{235}?

3) В начальный момент времени в питательной среде имелось N_0 бактерий, а через 1 секунду — N_1 бактерий. Известно, что скорость  размножения бактерий при достаточном запасе пищи пропорциональная их количеству. Через какое время количество бактерий достигло 10N_0?

4) Население некоторой страны к концу 1990 года составляло 20,3 миллиона, а к концу 1998 года — 22,3 миллиона. Предполагая, что скорость  роста численности населения пропорциональна численности населения, определите, сколь велика была численность населения этой страны к концу 2010 года.

5) Точка движется в координатной плоскости так, что если (x,y) — ее координаты в произвольный момент времени, то в тот же момент (x,-y) — координаты ее вектора скорости. В момент t=0 точка имела координаты (1,2). Может ли она в какой-нибудь момент времени иметь координаты  (3,1)?

Ссылка на основную публикацию