33. Сравнение роста показательной, логарифмической и степенной функций

Теорема. Пусть a>1,alpha>0. Тогда

1) displaystyle lim_{xto+infty}frac{a^x}{x^{alpha}}=+infty;

2) displaystyle lim_{xto+infty}frac{x^{alpha}}{log_ax}=+infty.

Лемма 1. Следующие утверждения эквивалентны

    [lim_{xto+infty}frac{a^x}{x^{alpha}}=+inftyLeftrightarrowlim_{xto+infty}frac{x}{log_a^{alpha}x} =+inftyLeftrightarrowlim_{xto+infty}frac{x^{alpha}}{log_ax}=+infty .]

Замечание. Если одно из этих утверждений выполняется для любых a>1,alpha>0, то и два других справедливы forall a>1,alpha>0.

Доказательство.

1) displaystyle lim_{xto+infty}frac{a^x}{x^{alpha}}=+inftyLeftrightarrowlim_{xto+infty}frac{x}{log_a^{alpha}x} =+infty

Необходимость.

    [begin{array}{l} forall x_n: x_nto+inftyRightarrowlog_ax_nto+inftyRightarrow\[4mm] displaystyle Rightarrowfrac{a^{log_ax_n}}{log_a^{alpha}x_n}to+inftyRightarrowfrac{x_n}{log_a^{alpha}x_n}to+infty . end{array}]

Достаточность.

    [begin{array}{l} forall x_n x_nto+inftyRightarrow a^{x_n}to+inftyRightarrow\[4mm] displaystyle Rightarrowfrac{a^{x_n}}{left(log_a a^{x_n}right)^{alpha}}to+inftyRightarrowfrac{a^{x_n}}{x_n^{alpha}} . end{array}]

2) displaystyle lim_{xto+infty}frac{x}{log_a^{alpha}x} =+inftyLeftrightarrowlim_{xto+infty}frac{x^{alpha}}{log_ax}=+infty

    [frac{x^{alpha}}{log_ax}=left(frac{x}{log_a^{1/alpha} x}right)^{alpha}]

Необходимость.

    [begin{array}{l} displaystyle forall x_n: x_nto+inftyRightarrowfrac{x_n}{log_a^{1/alpha}x_n}to+inftyRightarrow\[4mm] displaystyle left(frac{x}{log_a^{1/alpha} x}right)^{alpha}to+inftyRightarrowfrac{x_n}{log_ax_n}to+infty . end{array}]

    [frac{x}{log_a^{alpha} x}=left(frac{x^{1/alpha}}{log_a x}right)^{alpha}]

Достаточность.

    [begin{array}{l} displaystyle forall x_n: x_nto+inftyRightarrowfrac{x_n^{1/alpha}}{log_ax_n}to+inftyRightarrow\[4mm] displaystyle Rightarrow left(frac{x_n^{1/alpha}}{log_a x_n}right)^{alpha}to+inftyRightarrowfrac{x_n}{log_a^{alpha} x_n}to+infty . end{array}]

Лемма 2.

    [lim_{xto+infty}frac{a^x}{x^{alpha}}=+inftyLeftrightarrowlim_{xto+infty}frac{a^x}{x}= +infty .]

Доказательство.

    [frac{a^x}{x^{alpha}}=left(frac{left( a^{1/alpha}right)^x}{x}right)^{alpha} .]

Осталось доказать, что

    [forall a>1qquadlim_{xto+infty}frac{a^x}{x}=+infty .]

    [lim_{xto+infty}frac{x}{log_ax}=+infty]

(по лемме 1, alpha=1)

    [frac{x}{log_ax}=frac{x}{ln x}ln aqquad (ln a>0)]

Осталось доказать, что displaystylelim_{xto+infty}frac{x}{ln x}=+infty .

Докажем, что forall xin[e^2;+infty)

    [frac{x}{ln x}>sqrt{x}Leftrightarrow frac{sqrt{x}}{ln x}>1 .]

Рассмотрим функцию

    [f(x)=frac{sqrt{x}}{ln x}-1 .]

    [f^{prime}(x)=frac{frac{1}{2sqrt{x}}ln x-sqrt{x}frac{1}{sqrt{x}}}{ln^2x}=frac{ln x-2}{2sqrt{x}ln^2x} ,]

при x>e^2f^{prime}(x)>0, f строго возрастает.

    [f(e^2)=frac{e}{ln e^2}-1=frac{e}{2}-1>0 .]

Следовательно, forall xin[e^2;+infty)qquad f(x)>0 .

Ссылка на основную публикацию