33. Сравнение роста показательной, логарифмической и степенной функций

Теорема. Пусть $a>1,alpha>0$ . Тогда

1) $displaystyle lim_{xto+infty}frac{a^x}{x^{alpha}}=+infty$ ;

2) $displaystyle lim_{xto+infty}frac{x^{alpha}}{log_ax}=+infty$ .

Лемма 1. Следующие утверждения эквивалентны

$[lim_{xto+infty}frac{a^x}{x^{alpha}}=+inftyLeftrightarrowlim_{xto+infty}frac{x}{log_a^{alpha}x} =+inftyLeftrightarrowlim_{xto+infty}frac{x^{alpha}}{log_ax}=+infty .]$

Замечание. Если одно из этих утверждений выполняется для любых $a>1,alpha>0$ , то и два других справедливы $forall a>1,alpha>0$ .

Доказательство.

1) $displaystyle lim_{xto+infty}frac{a^x}{x^{alpha}}=+inftyLeftrightarrowlim_{xto+infty}frac{x}{log_a^{alpha}x} =+infty$

Необходимость.

$[begin{array}{l} forall x_n: x_nto+inftyRightarrowlog_ax_nto+inftyRightarrow\[4mm] displaystyle Rightarrowfrac{a^{log_ax_n}}{log_a^{alpha}x_n}to+inftyRightarrowfrac{x_n}{log_a^{alpha}x_n}to+infty . end{array}]$

Достаточность.

$[begin{array}{l} forall x_n x_nto+inftyRightarrow a^{x_n}to+inftyRightarrow\[4mm] displaystyle Rightarrowfrac{a^{x_n}}{left(log_a a^{x_n}right)^{alpha}}to+inftyRightarrowfrac{a^{x_n}}{x_n^{alpha}} . end{array}]$

2) $displaystyle lim_{xto+infty}frac{x}{log_a^{alpha}x} =+inftyLeftrightarrowlim_{xto+infty}frac{x^{alpha}}{log_ax}=+infty$

$[frac{x^{alpha}}{log_ax}=left(frac{x}{log_a^{1/alpha} x}right)^{alpha}]$

Необходимость.

$[begin{array}{l} displaystyle forall x_n: x_nto+inftyRightarrowfrac{x_n}{log_a^{1/alpha}x_n}to+inftyRightarrow\[4mm] displaystyle left(frac{x}{log_a^{1/alpha} x}right)^{alpha}to+inftyRightarrowfrac{x_n}{log_ax_n}to+infty . end{array}]$

$[frac{x}{log_a^{alpha} x}=left(frac{x^{1/alpha}}{log_a x}right)^{alpha}]$

Достаточность.

$[begin{array}{l} displaystyle forall x_n: x_nto+inftyRightarrowfrac{x_n^{1/alpha}}{log_ax_n}to+inftyRightarrow\[4mm] displaystyle Rightarrow left(frac{x_n^{1/alpha}}{log_a x_n}right)^{alpha}to+inftyRightarrowfrac{x_n}{log_a^{alpha} x_n}to+infty . end{array}]$

Лемма 2.

$[lim_{xto+infty}frac{a^x}{x^{alpha}}=+inftyLeftrightarrowlim_{xto+infty}frac{a^x}{x}= +infty .]$

Доказательство.

$[frac{a^x}{x^{alpha}}=left(frac{left( a^{1/alpha}right)^x}{x}right)^{alpha} .]$

Осталось доказать, что

$[forall a>1qquadlim_{xto+infty}frac{a^x}{x}=+infty .]$

$[lim_{xto+infty}frac{x}{log_ax}=+infty]$

(по лемме 1, $alpha=1$ )

$[frac{x}{log_ax}=frac{x}{ln x}ln aqquad (ln a>0)]$

Осталось доказать, что $displaystylelim_{xto+infty}frac{x}{ln x}=+infty .$

Докажем, что $forall xin[e^2;+infty)$

$[frac{x}{ln x}>sqrt{x}Leftrightarrow frac{sqrt{x}}{ln x}>1 .]$

Рассмотрим функцию

$[f(x)=frac{sqrt{x}}{ln x}-1 .]$

$[f^{prime}(x)=frac{frac{1}{2sqrt{x}}ln x-sqrt{x}frac{1}{sqrt{x}}}{ln^2x}=frac{ln x-2}{2sqrt{x}ln^2x} ,]$

при $x>e^2$ $f^{prime}(x)>0$ , $f$ строго возрастает.

$[f(e^2)=frac{e}{ln e^2}-1=frac{e}{2}-1>0 .]$

Следовательно, $forall xin[e^2;+infty)qquad f(x)>0 .$

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40