33. Сравнение роста показательной, логарифмической и степенной функций

Теорема. Пусть $a>1,alpha>0$ . Тогда

1) $displaystyle lim_{xto+infty}frac{a^x}{x^{alpha}}=+infty$ ;

2) $displaystyle lim_{xto+infty}frac{x^{alpha}}{log_ax}=+infty$ .

Лемма 1. Следующие утверждения эквивалентны

$[lim_{xto+infty}frac{a^x}{x^{alpha}}=+inftyLeftrightarrowlim_{xto+infty}frac{x}{log_a^{alpha}x} =+inftyLeftrightarrowlim_{xto+infty}frac{x^{alpha}}{log_ax}=+infty .]$

Замечание. Если одно из этих утверждений выполняется для любых $a>1,alpha>0$ , то и два других справедливы $forall a>1,alpha>0$ .

Доказательство.

1) $displaystyle lim_{xto+infty}frac{a^x}{x^{alpha}}=+inftyLeftrightarrowlim_{xto+infty}frac{x}{log_a^{alpha}x} =+infty$

Необходимость.

$[begin{array}{l} forall x_n: x_nto+inftyRightarrowlog_ax_nto+inftyRightarrow\[4mm] displaystyle Rightarrowfrac{a^{log_ax_n}}{log_a^{alpha}x_n}to+inftyRightarrowfrac{x_n}{log_a^{alpha}x_n}to+infty . end{array}]$

Достаточность.

$[begin{array}{l} forall x_n x_nto+inftyRightarrow a^{x_n}to+inftyRightarrow\[4mm] displaystyle Rightarrowfrac{a^{x_n}}{left(log_a a^{x_n}right)^{alpha}}to+inftyRightarrowfrac{a^{x_n}}{x_n^{alpha}} . end{array}]$

2) $displaystyle lim_{xto+infty}frac{x}{log_a^{alpha}x} =+inftyLeftrightarrowlim_{xto+infty}frac{x^{alpha}}{log_ax}=+infty$

$[frac{x^{alpha}}{log_ax}=left(frac{x}{log_a^{1/alpha} x}right)^{alpha}]$

Необходимость.

$[begin{array}{l} displaystyle forall x_n: x_nto+inftyRightarrowfrac{x_n}{log_a^{1/alpha}x_n}to+inftyRightarrow\[4mm] displaystyle left(frac{x}{log_a^{1/alpha} x}right)^{alpha}to+inftyRightarrowfrac{x_n}{log_ax_n}to+infty . end{array}]$

$[frac{x}{log_a^{alpha} x}=left(frac{x^{1/alpha}}{log_a x}right)^{alpha}]$

Достаточность.

$[begin{array}{l} displaystyle forall x_n: x_nto+inftyRightarrowfrac{x_n^{1/alpha}}{log_ax_n}to+inftyRightarrow\[4mm] displaystyle Rightarrow left(frac{x_n^{1/alpha}}{log_a x_n}right)^{alpha}to+inftyRightarrowfrac{x_n}{log_a^{alpha} x_n}to+infty . end{array}]$