32. Синусоида

Теорема. Если a>0, то

    [asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2}sinleft( x+{rm arctg}, {bover a}right).]

Доказательство.

    [begin{array}{l} displaystyle asin x+bcos x=aleft( sin x+{bover a}cos xright)=a(sin x+{rm tg},alphacos x)\[3mm] displaystyle (alpha={rm arctg},{bover a})\[3mm] displaystyle =aleft(sin x+{sinalphaover cosalpha}cos xright)={aover cosalpha}(sin xcosalpha+sinalphacos x)=\[3mm] displaystyle ={aover cosalpha}sin(x+alpha).\[3mm] displaystyle {1over cos^2alpha}=1+{rm tg}^2alpha=1+left({bover a}right)^2={a^2+b^2over a^2}. end{array}]

Так как displaystylealphainleft[-{piover 2},{piover 2}right], то cosalphage0.

Так как a>0, то

    [begin{array}{l} displaystyle {1over cosalpha}={sqrt{a^2+b^2}over a}Rightarrow{aover cosalpha}=sqrt{a^2+b^2},\[3mm] displaystyle asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2}sinleft( x+{rm arctg}, {bover a}right). end{array}]

Примеры.

    [begin{array}{l} displaystyle {bf 1.} sin x+cos x=sqrt{2}sinleft( x+{piover 4}right) .\[3mm] displaystyle {bf 2.} sin x-cos x=sqrt{2}sinleft( x-{piover 4}right) .\[3mm] displaystyle {bf 3.} sin x+sqrt{3}cos x=2sinleft( x+{piover 3}right) \[3mm] displaystyle {bf 4.} 3sin x+4cos x=5sinleft( x+{rm arctg}, {4over 3}right). end{array}]

Определение. Синусоидой называется множество точек плоскости, которое в некоторой системе координат является графиком функции y=asin x, где ane0. Число |a| называется амплитудой.

Рис. 41

1) Так как asin(-x)=-asin x, то синусоида симметрична относительно начала координат.

2) Так как asin(x+2pi)=asin x, то достаточно построить график на отрезке длины 2pi, например, на отрезке от -pi до pi, а в силу симметрии достаточно взять отрезок [0;pi].

3) Так как asin(pi-x)=asin x, то синусоида симметрична относительно прямой displaystyle x={piover 2}. Поэтому достаточно построить синусоиду на отрезке displaystyle left[0;{piover 2}right].

Теорема. Если a>0, то функция f(x)=asin x строго возрастает на отрезке displaystyle left[0;{piover 2}right].

Доказательство. Пусть displaystyle x_1,x_2inleft[0;{piover 2}right],x_1>x_2.

    [begin{array}{l} displaystyle f(x_1)-f(x_2)=a(sin x_1-sin x_2)=2acos{x_1+x_2over 2}sin{x_1-x_2over 2},\[3mm] displaystyle {x_1+x_2over 2}inleft(0;{piover 2}right)Rightarrowcos{x_1+x_2over 2}>0,\[3mm] displaystyle {x_1-x_2over 2}inleft(0;{piover 2}right)Rightarrowsin{x_1-x_2over 2}>0,\[3mm] Rightarrow f(x_1)>f(x_2) . end{array}]

Rendered by QuickLaTeX.com

График функции y=sin x

Рис. 42

График функции y=cos x

    [begin{array}{c} y=cos x,\[3mm] displaystyle cos x=sinleft( x+{piover 2}right) . end{array}]

Рис. 43

Теорема. График любой функции вида

    [f(x)=asin(omega x+varphi)+bcos(omega x+varphi),]

где a,b,omega,varphiinmathbb{R},omegane0 и из чисел a,b хотя бы одно не равно нулю, является синусоидой.

Определение. Такая функция называется гармоническим колебанием, число omega называется частотой этого колебания, varphiначальной фазой; амплитуда этого колебания равна sqrt{a^2+b^2}. Период этого колебания равен displaystyle {2piover omega}.

Доказательство. Пусть a>0.

    [f(x)=sqrt{a^2+b^2}sin(omega x+alpha),qquad alpha={rm arctg}, {bover a} .]

Из синусоиды y=omegasqrt{a^2+b^2}sin x получим переносом оси ординат график функции y=omegasqrt{a^2+b^2}sin(x+alpha), а затем увеличим масштаб в omega раз. Получим график функции f.

Задачи.

1) Постройте графики функций

1. y=sin(3|x|+pi/3) .

2. y=cos(2|x|+pi/6)-1 .

3. y=|sin(2x-pi/3)|+1 .

4. y=|sin(2x+pi/4)|+2.

2) Докажите, что графики следующих функций — синусоиды, и постройте их:

1. y=sin^2x .
2. y=3cos^2x+2sqrt{3}sin xcos x+sin^2 x .

Ссылка на основную публикацию