Теорема. Если , то
Доказательство.
Так как , то
.
Так как , то
Примеры.
Определение. Синусоидой называется множество точек плоскости, которое в некоторой системе координат является графиком функции , где
. Число
называется амплитудой.

Рис. 41
1) Так как , то синусоида симметрична относительно начала координат.
2) Так как , то достаточно построить график на отрезке длины
, например, на отрезке от
до
, а в силу симметрии достаточно взять отрезок
.
3) Так как , то синусоида симметрична относительно прямой
. Поэтому достаточно построить синусоиду на отрезке
.
Теорема. Если , то функция
строго возрастает на отрезке
.
Доказательство. Пусть .
График функции

Рис. 42
График функции

Рис. 43
Теорема. График любой функции вида
где и из чисел
хотя бы одно не равно нулю, является синусоидой.
Определение. Такая функция называется гармоническим колебанием, число называется частотой этого колебания,
— начальной фазой; амплитуда этого колебания равна
. Период этого колебания равен
.
Доказательство. Пусть .
Из синусоиды получим переносом оси ординат график функции
, а затем увеличим масштаб в
раз. Получим график функции
.
Задачи.
1) Постройте графики функций
1.
2.
3.
4. .
2) Докажите, что графики следующих функций — синусоиды, и постройте их:
1.
2.