32. Синусоида

Теорема. Если $a>0$ , то

$[asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2}sinleft( x+{rm arctg}, {bover a}right).]$

Доказательство.

$[begin{array}{l} displaystyle asin x+bcos x=aleft( sin x+{bover a}cos xright)=a(sin x+{rm tg},alphacos x)\[3mm] displaystyle (alpha={rm arctg},{bover a})\[3mm] displaystyle =aleft(sin x+{sinalphaover cosalpha}cos xright)={aover cosalpha}(sin xcosalpha+sinalphacos x)=\[3mm] displaystyle ={aover cosalpha}sin(x+alpha).\[3mm] displaystyle {1over cos^2alpha}=1+{rm tg}^2alpha=1+left({bover a}right)^2={a^2+b^2over a^2}. end{array}]$

Так как $displaystylealphainleft[-{piover 2},{piover 2}right]$ , то $cosalphage0$ .

Так как $a>0$ , то

$[begin{array}{l} displaystyle {1over cosalpha}={sqrt{a^2+b^2}over a}Rightarrow{aover cosalpha}=sqrt{a^2+b^2},\[3mm] displaystyle asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2}sinleft( x+{rm arctg}, {bover a}right). end{array}]$

Примеры.

$[begin{array}{l} displaystyle {bf 1.} sin x+cos x=sqrt{2}sinleft( x+{piover 4}right) .\[3mm] displaystyle {bf 2.} sin x-cos x=sqrt{2}sinleft( x-{piover 4}right) .\[3mm] displaystyle {bf 3.} sin x+sqrt{3}cos x=2sinleft( x+{piover 3}right) \[3mm] displaystyle {bf 4.} 3sin x+4cos x=5sinleft( x+{rm arctg}, {4over 3}right). end{array}]$

Определение. Синусоидой называется множество точек плоскости, которое в некоторой системе координат является графиком функции $y=asin x$ , где $ane0$ . Число $|a|$ называется амплитудой.

Рис. 41

1) Так как $asin(-x)=-asin x$ , то синусоида симметрична относительно начала координат.

2) Так как $asin(x+2pi)=asin x$ , то достаточно построить график на отрезке длины $2pi$ , например, на отрезке от $-pi$ до $pi$ , а в силу симметрии достаточно взять отрезок $[0;pi]$ .

3) Так как $asin(pi-x)=asin x$ , то синусоида симметрична относительно прямой $displaystyle x={piover 2}$ . Поэтому достаточно построить синусоиду на отрезке $displaystyle left[0;{piover 2}right]$ .

Теорема. Если $a>0$ , то функция $f(x)=asin x$ строго возрастает на отрезке $displaystyle left[0;{piover 2}right]$ .

Доказательство. Пусть $displaystyle x_1,x_2inleft[0;{piover 2}right],x_1>x_2$ .

$[begin{array}{l} displaystyle f(x_1)-f(x_2)=a(sin x_1-sin x_2)=2acos{x_1+x_2over 2}sin{x_1-x_2over 2},\[3mm] displaystyle {x_1+x_2over 2}inleft(0;{piover 2}right)Rightarrowcos{x_1+x_2over 2}>0,\[3mm] displaystyle {x_1-x_2over 2}inleft(0;{piover 2}right)Rightarrowsin{x_1-x_2over 2}>0,\[3mm] Rightarrow f(x_1)>f(x_2) . end{array}]$

Rendered by QuickLaTeX.com

График функции $y=sin x$

Рис. 42

График функции $y=cos x$

$[begin{array}{c} y=cos x,\[3mm] displaystyle cos x=sinleft( x+{piover 2}right) . end{array}]$

Рис. 43

Теорема. График любой функции вида

где $a,b,omega,varphiinmathbb{R},omegane0$ и из чисел $a,b$ хотя бы одно не равно нулю, является синусоидой.

Определение. Такая функция называется гармоническим колебанием, число $omega$ называется частотой этого колебания, $varphi$ — начальной фазой; амплитуда этого колебания равна $sqrt{a^2+b^2}$ . Период этого колебания равен $displaystyle {2piover omega}$ .

Доказательство. Пусть $a>0$ .

$[f(x)=sqrt{a^2+b^2}sin(omega x+alpha),qquad alpha={rm arctg}, {bover a} .]$

Из синусоиды $y=omegasqrt{a^2+b^2}sin x$ получим переносом оси ординат график функции $y=omegasqrt{a^2+b^2}sin(x+alpha)$ , а затем увеличим масштаб в $omega$ раз. Получим график функции $f$ .

Задачи.

1) Постройте графики функций

1. $y=sin(3|x|+pi/3) .$

2. $y=cos(2|x|+pi/6)-1 .$

3. $y=|sin(2x-pi/3)|+1 .$

4. $y=|sin(2x+pi/4)|+2$ .

2) Докажите, что графики следующих функций — синусоиды, и постройте их:

1. $y=sin^2x .$
2. $y=3cos^2x+2sqrt{3}sin xcos x+sin^2 x .$

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40