32. Производные логарифмической, показательной и степенной функций

Заметим, что функция xmapstoln x обратна функции

    [xmapsto e^xRightarrow e^{ln x}=xRightarrow ln x=log_ex .]

Из определения натурального логарифма displaystyle ln^{prime}x=frac{1}{x}.

По свойству 5) log_ax=frac{ln x}{ln a}Rightarrow функция xmapstolog_ax, определенная при x>0, дифференцируема во всех точках области определения.

    [fbox{$displaystyle log_ax=frac{1}{xln a}$}]

Экспонента — функция, обратная натуральному логарифму. Натуральный логарифм дифференцируем во всех точках области определения, причем производная ни в одной точке не равна нулю.

Следовательно, экспонента дифференцируема во всех точках и

    [displaystyle exp^{prime}(x)=frac{1}{frac{1}{exp x}} .]

a^x=e^{xln a}Rightarrow функция xmapsto a^x дифференцируема во всех точках, и

    [left( a^xright)^{prime}=e^{xln a}cdot(xln a)^{prime}=a^xln a .]

Рассмотрим функцию f(x)=x^{alpha} (x>0).

f(x)=e^{alphaln x}, следовательно, функция f дифференцируема во всех точках x>0 и

    [f^{prime}(x)=e^{alphaln x}cdot(alphaln x)^{prime}=x^{alpha}cdotfrac{alpha}{x}=alpha x^{alpha-1} ,]

    [left( x^{alpha}right)^{prime}=alpha x^{alpha-1} .]

Логарифмическое дифференцирование

Пусть все значения функции f положительны. Тогда f=e^{ln f}. Поэтому из дифференцируемости ln f следует дифференцируемость f. При этом

    [(ln f)^{prime}=frac{1}{f}cdot f^{prime}=frac{f^{prime}}{f} .]

Отсюда f^{prime}=f(ln f)^{prime}. Зная производную натурального логарифма f, легко найти f^{prime}.

Примеры.

1) displaystyle y=frac{1+sqrt[3]{x}}{2x-sqrt[5]{x}}cdotsin^35x

    [begin{array}{l} displaystyle ln y=lnleft( 1+sqrt[3]{x}right)-lnleft(2x-sqrt[5]{x}right)+3lnsin5x,\[4mm] displaystyle frac{y^{prime}}{y}=frac{1}{3sqrt[3]{x^2}left(1+sqrt[3]{x}right)}-frac{1-frac{1}{5sqrt[5]{x^4}}}{2x-sqrt[5]{x}}+ frac{15cos5x}{sin5x},\[4mm] displaystyle y^{prime}=frac{1+sqrt[3]{x}}{2x-sqrt[5]{x}}sin^35xleft(frac{1}{3left(sqrt[3]{x^2}+xright)}- frac{5sqrt[5]{x^4}-1}{5xleft(2sqrt[5]{x^4}-1right)}+15{rm ctg},5xright) . end{array}]

2) y=(sin x)^{ln x}

    [begin{array}{l} ln y=ln xcdotlnsin x,\ displaystyle frac{y^{prime}}{y}=frac{1}{x}lnsin x+ln x{rm ctg},x,\[4mm] displaystyle y^{prime}=(sin x)^{ln x}left(frac{lnsin x}{x}+ln x{rm ctg}, xright) . end{array}]

Ссылка на основную публикацию