31. Свойства логарифмов

Определение. Пусть a>0,b>0,ane1. Логарифмом числа b по основанию a(log_a b) называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

Теорема 1. Если a>0,b>0,ane 1, то логарифм b по основанию a существует и единственен.

Доказательство. x=log_a bLeftrightarrow b=a^x .

Таким образом, утверждение теоремы означает, что показательная функция с основанием a принимает все положительные значения, причем каждое по одному разу.

a^x=e^{xln a} (см. теорему существования).

Так как ane 1, то ln ane0, следовательно, линейная функция xmapsto xln a принимает все вещественные значения, значит, функция xmapsto e^{xln a} принимает те же значения, что и функция экспонента. Но множество значений экспоненты есть множество всех положительных чисел. Таким образом, функция xmapsto a^x принимает все положительные значения, а то, что каждое значение принимает по одному разу, следует из ее строгой монотонности.

Теорема 2 (свойства логарифма).

1) log_a(x_1x_2)=log_ax_1+log_ax_2qquad (x_1>0,x_2>0,a>0,ane1);

2) displaystyle log_afrac{x_1}{x_2}=log_ax_1-log_ax_2qquad (x_1>0,x_2>0,a>0,ane1);

3) log_ax^{alpha}=alphalog_axqquad(x>0,a>0,ane1);

4) displaystyle log_{a^{alpha}}x=frac{1}{alpha}log_axqquad(x>0,a>0,ane1,alphane0);

5) displaystyle log_ax=frac{log_bx}{log_ba}qquad(x>0,a>0,b>0,ane1,bne1).

Доказательство.

1)
left.begin{array}{l} a^{log_a(x_1x_2)}=x_1x_2,\ a^{log_ax_1+log_ax_2}=a^{log_ax_1}cdot a^{log_ax_2}=x_1x_2, end{array}right|Rightarrow левая часть равна правой.

2) displaystyle log_afrac{x_1}{x_2}+log_ax_2=log_aleft(frac{x_1}{x_2}cdot x_2right)=log_ax_1.

3)

left.begin{array}{l} a^{log_ax^{alpha}}=x^{alpha},\ a^{alphalog_ax}=left( a^{log_ax}right)^{alpha}=x^{alpha}, end{array}right|Rightarrow левая часть равна правой.

4) left( a^{alpha}right)^{log_{a^{alpha}}}=x,

    [left( a^{alpha}right)^{frac{1}{alpha}log_ax}=a^{log_ax}=x .]

5)

    [left.begin{array}{l} b^{log_bx}=x,\ b^{log_bacdotlog_ax}=left( b^{log_ba}right)^{log_ax}=a^{log_ax}=x, end{array}right|Rightarrowlog_bx=log_bacdotlog_ax,]

Так как ane1, то displaystylelog_bane0Rightarrow log_ax=frac{log_bx}{log_ba}.

Задачи.

1) Вычислите
1. log_2 2sqrt{2} .
2. log_{1/sqrt{5}} sqrt[4]{125} .
3. 2^{log_4 25} .
4. log_8 12+log_{1/8} 3 .
5. log_4 5log_5 6log_6 6log_8 7 .
6. displaystyle frac{log_2 18}{log_{36}2}-frac{log_2 9}{log_{72} 2} .

2) Найдите

1. log_8 9, если log_{18}12=a,
2. log_{250} 120, если log_9 20=a и lg 2=b.

3) Выясните, какое число больше

1. displaystyle log_2frac{1}{7} или log_2frac{1}{9}.

2. log_{1/3} 5 или log_{1/5} 3>.

3. log_{1/7} 3 или log_{1/8} 3.

4. log_9 80 или log_7 50.

5. log_6 5+log_5 6 или 2.

6. log_3^2 5-log_3 5 или 1.

Ссылка на основную публикацию