Определение. Пусть . Пусть
— показательная функция с основанием
. Тогда
;
; если
, то
.
Если , то
; если
, то
.
Теорема. Пусть . Тогда
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Доказательство. 1) Если , это очевидно; если
, то пусть
— показательная функция с основанием
.
Тогда левая часть равенства — это , а правая —
. Равенство следует из определения показательной функции.
2) >.
3) 1. > — равенство очевидно;
2. — равенство очевидно;
3. . Рассмотрим функцию
. Докажем, что
— показательная функция.
строго монотонна как композиция строго монотонных функций:
Основание :
.
Следовательно,
.
4. 1) или
Рассмотрим функцию . Она строго монотонна, так как является произведением двух положительных функций, которые обе возрастают или обе убывают.
Следовательно, — показательная функция. Ее основание
.
, т.е.
.
2) или
— равенство очевидно.
3)
4)
(т.к.
5)
,
, дальнейшее аналогично пункту 4).
6) . Аналогично пункту 4) или 5).
5.
Задачи.
1) Решите уравнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
3) Решите неравенства
1.
2.
3.