30. Определение и свойства степени

Определение. Пусть $a>0,ane 1,xinmathbb{R}$ . Пусть $f$ — показательная функция с основанием $a$ . Тогда $f(x)=a^x$ ; $1^x=1$ ; если $x>0$ , то $0^x=0$ .

Если $a<0$ , то $a^0=1$ ; если $a<0,ninmathbb{Z},n<0$ , то $displaystyle a^n=frac{1}{a^{-n}}$ .

Теорема. Пусть $a,b>0, x_1,x_2inmathbb{R}$ . Тогда

1) $a^{x_1+x_2}=a^{x_1}cdot a^{x_2}$ ;

2) $displaystyle a^{x_1-x_2}=frac{a^{x_1}}{a^{x_2}}$ ;

3) $a^{x_1x_2}=left( a^{x_1}right)^{x_2}$ ;

4) $(ab)^{x_1}=a^{x_1}b^{x_1}$ ;

5) $displaystyle left(frac{a}{b}right)^{x_1}=frac{a^{x_1}}{b^{x_1}}$ .

Доказательство. 1) Если $a=1$ , это очевидно; если $ane1$ , то пусть $f$ — показательная функция с основанием $a$ .

Тогда левая часть равенства — это $f(x_1+x_2)$ , а правая — $f(x_1)cdot f(x_2)$ . Равенство следует из определения показательной функции.

2) $displaystyle a^{x_1-x_2}cdot a^{x_2}=a^{x_1-x_2+x_2}=a^{x_1}Rightarrow a^{x_1-x_2}=frac{a^{x_1}}{a^{x_2}}$ >.

3) 1. $a=1$ > — равенство очевидно;

2. $x_1=0$ — равенство очевидно;

3. $ane1, x_1ne 0$ . Рассмотрим функцию $f(x)=a^{x_1x}$ . Докажем, что $f$ — показательная функция. $f$ строго монотонна как композиция строго монотонных функций:

$[f(t_1+t_2)=a^{x_1(t_1+t_2)}=a^{x_1t_1+x_2t_2}=a^{x_1t_1}cdot a^{x_1t_2}=f(t_1)cdot f(t_2) .]$

Основание $f$ : $f(1)=a^{x_1cdot 1}=a^{x_1}$ .

Следовательно, $forall x f(x)=left(a^{x_1}right)^{x}$

$x=x_2qquad a^{x_1x_2}=left( a^{x_1}right)^{x_2}$ .

4. 1) $a>1,b>1$ или $a<1,b<1$

Рассмотрим функцию $f(x)=a^xb^x$ . Она строго монотонна, так как является произведением двух положительных функций, которые обе возрастают или обе убывают.

$[f(x+1+x_2)=a^{x_1+x_2}cdot b^{x_1+x_2}=a^{x_1}a^{x_2}b^{x_1}b^{x_2}=a^{x_1}b^{x_1}a^{x_2}b^{x_2}=f(x_1)f(x_2) .]$

Следовательно, $f$ — показательная функция. Ее основание $f(1)=a^1cdot b^1=ab$ .

$forall x f(x)=(ab)^x$ , т.е. $a^xcdot b^x=(ab)^x$ .

2) $a=1$ или $b=1$ — равенство очевидно.

3) $displaystyle ab=1 (ab)^x=1; a^xb^x=a^xcdotleft(frac{1}{a}right)^x=a^xcdotleft( a^{-1}right)^x=$

$[=a^xcdot a^{-x}=a^{x-x}=a^0=1 .]$

4) $a>1,b<1,ab>1$

$displaystyle a^x=left( abcdotfrac{1}{b}right)=$ (т.к. $displaystyle ab>1,1/b>1)=$

$[=(ab)^xcdotleft(frac{1}{b}right)^x= (ab)^xcdotleft( b^{-1}right)^x=(ab)^xcdot b^{-x}=]$

$[=frac{(ab)^x}{b^x}Rightarrow (ab)^x=a^xb^x .]$

5) $a>1,b<1,ab<1$

$displaystyle b^x=left( abcdotfrac{1}{a}right)^x$ , $ab<1,1/a<1$ , дальнейшее аналогично пункту 4).

6) $a<1,b>1$ . Аналогично пункту 4) или 5).

5. $displaystyle left(frac{a}{b}right)^x=(4))=left(frac{a}{b}cdot bright)^x=a^xRightarrowleft(frac{a}{b}right)^x=frac{a^x}{b^x} .$

Задачи.

1) Решите уравнения

1. $25^x=5^{3-x} .$

2. $3^xcdot 5^{2x-3}=45 .$

3. $3^xcdot 7^{2-x^2}=21 .$

4. $2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}=30 .$

5. $3^{2x}-2cdot 3^x=3 .$

6. $4^x+5^{2x+1}=6cdot10^x .$

7. $3^x+4^x=7 .$

3) Решите неравенства

1. $displaystyle 2^x > frac{1}{2} .$

2. $displaystyle 3^{x-2} > frac{2}{5^{2x-1} }.$

3. $(x^2-x+1)^{x-2} > 1 .$

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40