30. Определение и свойства степени

Определение. Пусть a>0,ane 1,xinmathbb{R}. Пусть f — показательная функция с основанием a. Тогда f(x)=a^x; 1^x=1; если x>0, то 0^x=0.

Если a<0, то a^0=1; если a<0,ninmathbb{Z},n<0, то displaystyle a^n=frac{1}{a^{-n}}.

Теорема. Пусть a,b>0, x_1,x_2inmathbb{R}. Тогда

1) a^{x_1+x_2}=a^{x_1}cdot a^{x_2};

2) displaystyle a^{x_1-x_2}=frac{a^{x_1}}{a^{x_2}};

3) a^{x_1x_2}=left( a^{x_1}right)^{x_2};

4) (ab)^{x_1}=a^{x_1}b^{x_1};

5) displaystyle left(frac{a}{b}right)^{x_1}=frac{a^{x_1}}{b^{x_1}}.

Доказательство. 1) Если a=1, это очевидно; если ane1, то пусть f — показательная функция с основанием a.

Тогда левая часть равенства — это f(x_1+x_2), а правая — f(x_1)cdot f(x_2). Равенство следует из определения показательной функции.

2) displaystyle a^{x_1-x_2}cdot a^{x_2}=a^{x_1-x_2+x_2}=a^{x_1}Rightarrow a^{x_1-x_2}=frac{a^{x_1}}{a^{x_2}}>.

3) 1. a=1> — равенство очевидно;

2. x_1=0 — равенство очевидно;

3. ane1, x_1ne 0. Рассмотрим функцию f(x)=a^{x_1x}. Докажем, что f — показательная функция. f строго монотонна как композиция строго монотонных функций:

    [xmapsto x_1xqquad (x_1ne0),]

    [tmapsto a^tqquad (ane1) .]

    [f(t_1+t_2)=a^{x_1(t_1+t_2)}=a^{x_1t_1+x_2t_2}=a^{x_1t_1}cdot a^{x_1t_2}=f(t_1)cdot f(t_2) .]

Основание f: f(1)=a^{x_1cdot 1}=a^{x_1}.

Следовательно, forall x f(x)=left(a^{x_1}right)^{x}

x=x_2qquad a^{x_1x_2}=left( a^{x_1}right)^{x_2}.

4. 1) a>1,b>1 или a<1,b<1

Рассмотрим функцию f(x)=a^xb^x. Она строго монотонна, так как является произведением двух положительных функций, которые обе возрастают или обе убывают.

    [f(x+1+x_2)=a^{x_1+x_2}cdot b^{x_1+x_2}=a^{x_1}a^{x_2}b^{x_1}b^{x_2}=a^{x_1}b^{x_1}a^{x_2}b^{x_2}=f(x_1)f(x_2) .]

Следовательно, f — показательная функция. Ее основание f(1)=a^1cdot b^1=ab.

forall x f(x)=(ab)^x, т.е. a^xcdot b^x=(ab)^x.

2) a=1 или b=1 — равенство очевидно.

3) displaystyle ab=1 (ab)^x=1; a^xb^x=a^xcdotleft(frac{1}{a}right)^x=a^xcdotleft( a^{-1}right)^x=

    [=a^xcdot a^{-x}=a^{x-x}=a^0=1 .]

4) a>1,b<1,ab>1

displaystyle a^x=left( abcdotfrac{1}{b}right)=(т.к. displaystyle ab>1,1/b>1)=

    [=(ab)^xcdotleft(frac{1}{b}right)^x= (ab)^xcdotleft( b^{-1}right)^x=(ab)^xcdot b^{-x}=]

    [=frac{(ab)^x}{b^x}Rightarrow (ab)^x=a^xb^x .]

5) a>1,b<1,ab<1

displaystyle b^x=left( abcdotfrac{1}{a}right)^x, ab<1,1/a<1, дальнейшее аналогично пункту 4).

6) a<1,b>1. Аналогично пункту 4) или 5).

5. displaystyle left(frac{a}{b}right)^x=(4))=left(frac{a}{b}cdot bright)^x=a^xRightarrowleft(frac{a}{b}right)^x=frac{a^x}{b^x} .

Задачи.

1) Решите уравнения

1. 25^x=5^{3-x} .

2. 3^xcdot 5^{2x-3}=45 .

3. 3^xcdot 7^{2-x^2}=21 .

4. 2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}=30 .

5. 3^{2x}-2cdot 3^x=3 .

6. 4^x+5^{2x+1}=6cdot10^x .

7. 3^x+4^x=7 .

3) Решите неравенства

1. displaystyle 2^x > frac{1}{2} .

2. displaystyle 3^{x-2} > frac{2}{5^{2x-1} }.

3. (x^2-x+1)^{x-2} > 1 .

Ссылка на основную публикацию