3. Вычисление производных

Теорема. Пусть f,g:Xtomathbb{R}, ain X, функции f и g дифференцируемы в точке a. Тогда функции f(x)+g(x), f(x)g(x), displaystyle{f(x)over g(x)} дифференцируемы в точке a (последняя в случае g(a)ne0) и имеют место равенства

    [begin{array}{l} left.left( f(x)+g(x)right)^{prime}right|_{x=a}=f^{prime}(a)+g^{prime}(a),\[2mm] left.left( f(x)g(x)right)^{prime}right|_{x=a}=f^{prime}(a)g(a)+f(a)g^{prime}(a),\[2mm] displaystyle left.left( {f(x)over g(x)}right)^{prime}right|_{x=a}={f^{prime}(a)g(a)-f(a)g^{prime}(a)over g^2(a)}. end{array}]

Доказательство.

    [begin{array}{l} displaystyle lim_{xto a}{(f(x)+g(x))-(f(a)+g(a))over x-a} =lim_{xto a}{f(x)-f(a)over x-a}+lim_{xto a}{g(x)-g(a)over x-a}=\[3mm] =f^{prime}(a)+g^{prime}(a). end{array}]

    [begin{array}{l} displaystyle lim_{xto a}{f(x)g(x)-f(a)g(a)over x-a}=lim_{xto a}{f(x)g(x)-f(a)g(x)+f(a)g(x)-f(a)g(a)over x-a}=\[3mm] displaystyle =lim_{xto a}g(x){f(x)-f(a)over x-a}+lim_{xto a}f(a){g(x)-g(a)over x-a}=g(a)f^{prime}(a)+f(a)g^{prime}(a). end{array}]

Последнее равенство выполняется в  силу непрерывности функции g.

    [begin{array}{l} displaystyle lim_{xto a}{1over x-a}left[{f(x)over g(x)}-{f(a)over g(a)}right]=lim_{xto a}{1over x-a}{f(x)g(a)-f(a)g(x)over g(x)g(a)}=\[3mm] displaystyle =lim_{xto a}{1over x-a}{f(x)g(a)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(a)g(x)over g(x)g(a)}=\[3mm] displaystyle =lim_{xto a}{1over g(x)g(a)}{g(x)[f(x)-f(a)]-f(x)[g(x)-g(a)]over x-a}=\[3mm] displaystyle ={1over g^2(a)}[g(a)f^{prime}(a)-f(a)g^{prime}(a)]. end{array}]

Последнее равенство выполняется в силу непрерывности функции g.

Теорема о производной композиции. Пусть f:Xtomathbb{R}, g:Ytomathbb{R}, множество значений f содержится в Y, ain X. Пусть функция f дифференцируема в точке a, g дифференцируема в точке f(a). Тогда функция gcirc f(x)=g(f(x)) дифференцируема в точке a, причем

    [(gcirc f)^{prime}(a)=g^{prime}(f(a))cdot f^{prime}(a).]

Доказательство. По определению производной

    [begin{array}{l} f(x)-f(a)=(x-a)[f^{prime}(a)+alpha(x)],\[2mm] alpha(x)to 0, x to a,\[2mm] g(y)-g(f(a))=(y-f(a))[g^{prime}(f(a))+beta(y)],\[2mm] beta(y)to 0, y to f(a). end{array}]

Поэтому

    [begin{array}{l} (gcirc f)(x)-(gcirc f)(a)=g(f(x))-g(f(a))=\[2mm] =(f(x)-f(a))[g^{prime}(f(a))+beta(y)]=\[2mm] =(x-a)[f^{prime}(a)+alpha(x)][g^{prime}(f(a))+beta(y)]. end{array}]

При xto a alpha(x)to0. В силу непрерывности функции f(x) в точке a мы имеем также yto f(a) Longrightarrowbeta(y)to0. Переходом к пределу в равенстве

    [{gcirc f(x)-gcirc f(a)over x-a}=[f^{prime}(a)+alpha(x)][g^{prime}(f(a))+beta(y)]]

и получаем требуемый результат.

Теорема о производной обратной функции 1. Пусть f:Xtomathbb{R}, f обратима, Y — множество значений f, f^{-1}:Ytomathbb{R}, ain X. Пусть функция f дифференцируема в точке a, а функция f^{-1} дифференцируема в точке f(a). Тогда f^{prime}(a)ne0 и displaystyle (f^{-1})^{prime}(f(a))={1over f^{prime}(a)}.

Доказательство. forall xin X f^{-1}(f(x))=x.

Обозначим g(x)equiv x. Тогда

    [begin{array}{l} f^{-1}circ f=g,\[2mm] (f^{-1}circ f)^{prime}(a)=g^{prime}(a),\[2mm] (f^{-1})^{prime}(f(a))f^{prime}(a)=1,\[2mm] displaystyle (f^{-1})^{prime}(f(a))={1over f^{prime}(a)}. end{array}]

Теорема о производной обратной функции 2. Пусть f:Xtomathbb{R}, f обратима, Y — множество значений f, f^{-1}:Ytomathbb{R}, ain X. Пусть функция f непрерывна в точке a, а функция f^{-1} непрерывна в точке f(a), f дифференцируема в a и f^{prime}(a)ne0. Тогда f^{-1} дифференцируема в точке f(a) и displaystyle (f^{-1})^{prime}(f(a))={1over f^{prime}(a)}.

Доказательство.

    [(f^{-1})^{prime}(f(a))=lim_{yto f(a)}{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(a))over y-f(a)} .]

Возьмем произвольную последовательность y_nin Y,y_nto f(a),y_nne f(a).

Рассмотрим

    [{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(a))over y_n-f(a)}.]

Рассмотрим последовательность (x_n), x_n=f^{-1}(y_n). По непрерывности функции f^{-1} в точке f(a)

    [x_nto f^{-1}(f(a))=a .]

x_nne a, так как y_nne f(a), y_n=f(x_n). Тогда

    [{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(a))over y_n-f(a)}={1over {f(x_n)-f(a)over x_n-a}} .]

Так как displaystyle {f(x_n)-f(a)over x-a}to f^{prime}(a) и f^{prime}(a)ne0 по условию, то

    [{1over {f(x_n)-f(a)over x_n-a}}to{1over f^{prime}(a)}.]

Следствие 1. Пусть f:Xtomathbb{R}, ain X,cinmathbb{R}, f дифференцируема в a. Тогда функция cf дифференцируема в a и

    [(cf)^{prime}(a)=cf^{prime}(a).]

Следствие 2. Пусть f,g:Xtomathbb{R}, ain X,cinmathbb{R}, f и g дифференцируемы в a. Тогда функция f-g дифференцируема в a и

    [(f-g)^{prime}(a)=f^{prime}(a)-g^{prime}(a).]

Задачи. Приведите, если это возможно, примеры функций f и g, удовлетворяющих данным условиям (если это невозможно, объясните, почему):

1) f и g не дифференцируемы в точке x_0, f+g дифференцируема в x_0;

2) f дифференцируема в точке x_0, g не дифференцируема в точке x_0, f+g дифференцируема в x_0;

3) f+g дифференцируема в x_0, g дифференцируема в точке x_0, f-g не дифференцируема в x_0;

4) f+g дифференцируема в x_0, f-g дифференцируема в x_0, f не дифференцируема в точке x_0;

5) f дифференцируема в точке x_0, g не дифференцируема в точке x_0, fcdot g дифференцируема в точке x_0;

6) f не дифференцируема в точке x_0, g не дифференцируема в точке x_0, fcdot g дифференцируема в точке x_0;

7) f не дифференцируема в точке x_0, f^2  дифференцируема в точке x_0;

8 ) f дифференцируема в x_0, g дифференцируема в точке x_0, displaystylefrac{f}{g} не дифференцируема в x_0;

9) f дифференцируема в x_0, g не дифференцируема в точке x_0, displaystylefrac{f}{g} не дифференцируема в x_0;

10) f не дифференцируема в x_0, g дифференцируема в точке x_0, displaystylefrac{f}{g} дифференцируема в x_0;

11) f дифференцируема в g(x_0), g не дифференцируема в точке x_0, y=f(g(x)) дифференцируема в x_0;

12) f не дифференцируема в g(x_0), g не дифференцируема в точке x_0, y=f(g(x)) дифференцируема в x_0;

13) y=f(g(x)) дифференцируема в x_0, y=g(f(x)) не дифференцируема в x_0.

Ссылка на основную публикацию