3. Вычисление производных

Теорема. Пусть $f,g:Xtomathbb{R}$ , $ain X$ , функции $f$ и $g$ дифференцируемы в точке $a$ . Тогда функции $f(x)+g(x), f(x)g(x), displaystyle{f(x)over g(x)}$ дифференцируемы в точке $a$ (последняя в случае $g(a)ne0$ ) и имеют место равенства

$[begin{array}{l} left.left( f(x)+g(x)right)^{prime}right|_{x=a}=f^{prime}(a)+g^{prime}(a),\[2mm] left.left( f(x)g(x)right)^{prime}right|_{x=a}=f^{prime}(a)g(a)+f(a)g^{prime}(a),\[2mm] displaystyle left.left( {f(x)over g(x)}right)^{prime}right|_{x=a}={f^{prime}(a)g(a)-f(a)g^{prime}(a)over g^2(a)}. end{array}]$

Доказательство.

$[begin{array}{l} displaystyle lim_{xto a}{(f(x)+g(x))-(f(a)+g(a))over x-a} =lim_{xto a}{f(x)-f(a)over x-a}+lim_{xto a}{g(x)-g(a)over x-a}=\[3mm] =f^{prime}(a)+g^{prime}(a). end{array}]$

$[begin{array}{l} displaystyle lim_{xto a}{f(x)g(x)-f(a)g(a)over x-a}=lim_{xto a}{f(x)g(x)-f(a)g(x)+f(a)g(x)-f(a)g(a)over x-a}=\[3mm] displaystyle =lim_{xto a}g(x){f(x)-f(a)over x-a}+lim_{xto a}f(a){g(x)-g(a)over x-a}=g(a)f^{prime}(a)+f(a)g^{prime}(a). end{array}]$

Последнее равенство выполняется в силу непрерывности функции $g$ .

$[begin{array}{l} displaystyle lim_{xto a}{1over x-a}left[{f(x)over g(x)}-{f(a)over g(a)}right]=lim_{xto a}{1over x-a}{f(x)g(a)-f(a)g(x)over g(x)g(a)}=\[3mm] displaystyle =lim_{xto a}{1over x-a}{f(x)g(a)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(a)g(x)over g(x)g(a)}=\[3mm] displaystyle =lim_{xto a}{1over g(x)g(a)}{g(x)[f(x)-f(a)]-f(x)[g(x)-g(a)]over x-a}=\[3mm] displaystyle ={1over g^2(a)}[g(a)f^{prime}(a)-f(a)g^{prime}(a)]. end{array}]$

Последнее равенство выполняется в силу непрерывности функции $g$ .

Теорема о производной композиции. Пусть $f:Xtomathbb{R}, g:Ytomathbb{R}$ , множество значений $f$ содержится в $Y, ain X$ . Пусть функция $f$ дифференцируема в точке $a$ , $g$ дифференцируема в точке $f(a)$ . Тогда функция $gcirc f(x)=g(f(x))$ дифференцируема в точке $a$ , причем

$[(gcirc f)^{prime}(a)=g^{prime}(f(a))cdot f^{prime}(a).]$

Доказательство. По определению производной

$[begin{array}{l} f(x)-f(a)=(x-a)[f^{prime}(a)+alpha(x)],\[2mm] alpha(x)to 0, x to a,\[2mm] g(y)-g(f(a))=(y-f(a))[g^{prime}(f(a))+beta(y)],\[2mm] beta(y)to 0, y to f(a). end{array}]$

Поэтому

$[begin{array}{l} (gcirc f)(x)-(gcirc f)(a)=g(f(x))-g(f(a))=\[2mm] =(f(x)-f(a))[g^{prime}(f(a))+beta(y)]=\[2mm] =(x-a)[f^{prime}(a)+alpha(x)][g^{prime}(f(a))+beta(y)]. end{array}]$

При $xto a alpha(x)to0$ . В силу непрерывности функции $f(x)$ в точке $a$ мы имеем также $yto f(a) Longrightarrowbeta(y)to0$ . Переходом к пределу в равенстве

$[{gcirc f(x)-gcirc f(a)over x-a}=[f^{prime}(a)+alpha(x)][g^{prime}(f(a))+beta(y)]]$

и получаем требуемый результат.

Теорема о производной обратной функции 1. Пусть $f:Xtomathbb{R}$ , $f$ обратима, $Y$ — множество значений $f, f^{-1}:Ytomathbb{R}, ain X$ . Пусть функция $f$ дифференцируема в точке $a$ , а функция $f^{-1}$ дифференцируема в точке $f(a)$ . Тогда $f^{prime}(a)ne0$ и $displaystyle (f^{-1})^{prime}(f(a))={1over f^{prime}(a)}$ .

Доказательство. $forall xin X f^{-1}(f(x))=x$ .

Обозначим $g(x)equiv x$ . Тогда

$[begin{array}{l} f^{-1}circ f=g,\[2mm] (f^{-1}circ f)^{prime}(a)=g^{prime}(a),\[2mm] (f^{-1})^{prime}(f(a))f^{prime}(a)=1,\[2mm] displaystyle (f^{-1})^{prime}(f(a))={1over f^{prime}(a)}. end{array}]$

Теорема о производной обратной функции 2. Пусть $f:Xtomathbb{R}$ , $f$ обратима, $Y$ — множество значений $f, f^{-1}:Ytomathbb{R}, ain X$ . Пусть функция $f$ непрерывна в точке $a$ , а функция $f^{-1}$ непрерывна в точке $f(a)$ , $f$ дифференцируема в $a$ и $f^{prime}(a)ne0$ . Тогда $f^{-1}$ дифференцируема в точке $f(a)$ и $displaystyle (f^{-1})^{prime}(f(a))={1over f^{prime}(a)}$ .

Доказательство.

$[(f^{-1})^{prime}(f(a))=lim_{yto f(a)}{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(a))over y-f(a)} .]$

Возьмем произвольную последовательность $y_nin Y,y_nto f(a),y_nne f(a)$ .

Рассмотрим

$[{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(a))over y_n-f(a)}.]$

Рассмотрим последовательность $(x_n), x_n=f^{-1}(y_n)$ . По непрерывности функции $f^{-1}$ в точке $f(a)$

$[x_nto f^{-1}(f(a))=a .]$

$x_nne a$ , так как $y_nne f(a), y_n=f(x_n)$ . Тогда

$[{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(a))over y_n-f(a)}={1over {f(x_n)-f(a)over x_n-a}} .]$

Так как $displaystyle {f(x_n)-f(a)over x-a}to f^{prime}(a) и f^{prime}(a)ne0$ по условию, то

$[{1over {f(x_n)-f(a)over x_n-a}}to{1over f^{prime}(a)}.]$

Следствие 1. Пусть $f:Xtomathbb{R}, ain X,cinmathbb{R}$ , $f$ дифференцируема в $a$ . Тогда функция $cf$ дифференцируема в $a$ и

$[(cf)^{prime}(a)=cf^{prime}(a).]$

Следствие 2. Пусть $f,g:Xtomathbb{R}, ain X,cinmathbb{R}$ , $f$ и $g$ дифференцируемы в $a$ . Тогда функция $f-g$ дифференцируема в $a$ и

$[(f-g)^{prime}(a)=f^{prime}(a)-g^{prime}(a).]$

Задачи. Приведите, если это возможно, примеры функций $f$ и $g$ , удовлетворяющих данным условиям (если это невозможно, объясните, почему):

1) $f$ и $g$ не дифференцируемы в точке $x_0$ , $f+g$ дифференцируема в $x_0$ ;

2) $f$ дифференцируема в точке $x_0$ , $g$ не дифференцируема в точке $x_0$ , $f+g$ дифференцируема в $x_0$ ;

3) $f+g$ дифференцируема в $x_0$ , $g$ дифференцируема в точке $x_0$ , $f-g$ не дифференцируема в $x_0$ ;

4) $f+g$ дифференцируема в $x_0$ , $f-g$ дифференцируема в $x_0$ , $f$ не дифференцируема в точке $x_0$ ;

5) $f$ дифференцируема в точке $x_0$ , $g$ не дифференцируема в точке $x_0$ , $fcdot g$ дифференцируема в точке $x_0$ ;

6) $f$ не дифференцируема в точке $x_0$ , $g$ не дифференцируема в точке $x_0$ , $fcdot g$ дифференцируема в точке $x_0$ ;

7) $f$ не дифференцируема в точке $x_0$ , $f^2$ дифференцируема в точке $x_0$ ;

8 ) $f$ дифференцируема в $x_0$ , $g$ дифференцируема в точке $x_0$ , $displaystylefrac{f}{g}$ не дифференцируема в $x_0$ ;

9) $f$ дифференцируема в $x_0$ , $g$ не дифференцируема в точке $x_0$ , $displaystylefrac{f}{g}$ не дифференцируема в $x_0$ ;

10) $f$ не дифференцируема в $x_0$ , $g$ дифференцируема в точке $x_0$ , $displaystylefrac{f}{g}$ дифференцируема в $x_0$ ;

11) $f$ дифференцируема в $g(x_0)$ , $g$ не дифференцируема в точке $x_0$ , $y=f(g(x))$ дифференцируема в $x_0$ ;

12) $f$ не дифференцируема в $g(x_0)$ , $g$ не дифференцируема в точке $x_0$ , $y=f(g(x))$ дифференцируема в $x_0$ ;

13) $y=f(g(x))$ дифференцируема в $x_0$ , $y=g(f(x))$ не дифференцируема в $x_0$ .

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40