Теорема. Пусть ,
, функции
и
дифференцируемы в точке
. Тогда функции
дифференцируемы в точке
(последняя в случае
) и имеют место равенства
Доказательство.
Последнее равенство выполняется в силу непрерывности функции .
Последнее равенство выполняется в силу непрерывности функции .
Теорема о производной композиции. Пусть , множество значений
содержится в
. Пусть функция
дифференцируема в точке
,
дифференцируема в точке
. Тогда функция
дифференцируема в точке
, причем
Доказательство. По определению производной
Поэтому
При . В силу непрерывности функции
в точке
мы имеем также
. Переходом к пределу в равенстве
и получаем требуемый результат.
Теорема о производной обратной функции 1. Пусть ,
обратима,
— множество значений
. Пусть функция
дифференцируема в точке
, а функция
дифференцируема в точке
. Тогда
и
.
Доказательство. .
Обозначим . Тогда
Теорема о производной обратной функции 2. Пусть ,
обратима,
— множество значений
. Пусть функция
непрерывна в точке
, а функция
непрерывна в точке
,
дифференцируема в
и
. Тогда
дифференцируема в точке
и
.
Доказательство.
Возьмем произвольную последовательность .
Рассмотрим
Рассмотрим последовательность . По непрерывности функции
в точке
, так как
. Тогда
Так как по условию, то
Следствие 1. Пусть ,
дифференцируема в
. Тогда функция
дифференцируема в
и
Следствие 2. Пусть ,
и
дифференцируемы в
. Тогда функция
дифференцируема в
и
Задачи. Приведите, если это возможно, примеры функций и
, удовлетворяющих данным условиям (если это невозможно, объясните, почему):
1) и
не дифференцируемы в точке
,
дифференцируема в
;
2) дифференцируема в точке
,
не дифференцируема в точке
,
дифференцируема в
;
3) дифференцируема в
,
дифференцируема в точке
,
не дифференцируема в
;
4) дифференцируема в
,
дифференцируема в
,
не дифференцируема в точке
;
5) дифференцируема в точке
,
не дифференцируема в точке
,
дифференцируема в точке
;
6) не дифференцируема в точке
,
не дифференцируема в точке
,
дифференцируема в точке
;
7) не дифференцируема в точке
,
дифференцируема в точке
;
8 ) дифференцируема в
,
дифференцируема в точке
,
не дифференцируема в
;
9) дифференцируема в
,
не дифференцируема в точке
,
не дифференцируема в
;
10) не дифференцируема в
,
дифференцируема в точке
,
дифференцируема в
;
11) дифференцируема в
,
не дифференцируема в точке
,
дифференцируема в
;
12) не дифференцируема в
,
не дифференцируема в точке
,
дифференцируема в
;
13) дифференцируема в
,
не дифференцируема в
.