3. Суммирование

Определение. Пусть дана последовательность чисел (a_n) и натуральные числа p и q, причем ple q.

    [sum_{n=p}^qa_n]

(сумма a_n по n от p до q) — сумма всех членов последовательности, номера которых не меньше p и не больше q.

Замечание. Сумма, состоящая из одного слагаемого, считается равной этому слагаемому.

Пример. displaystylesum_{n=3}^82=12.

Пример.

    [sum_{n=2}^5{n^2-1over n}={3over 2}+{8over 3}+{15over 4}+{24over 5}={90+160+225+288over 60}={763over 60}.]

Свойства знака sum

1. displaystylesum_{k=p}^q(alpha a_k)=alphasum_{k=p}^qa_k.

2. displaystylesum_{k=p}^q(a_k+b_k)=sum_{k=p}^qa_k+sum_{k=p}^qb_k.

3. displaystylesum_{k=p}^q1=q-p+1.

4. displaystylesum_{k=1}^nk={n(n+1)over 2}.

Пример. Вычислим displaystyle sum_{k=1}^nk^2.

    [(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1]

Просуммируем левую и правую части по k от 1 до n

    [sum_{k=1}^n(k+1)^3-sum_{k=1}^nk^3=3sum_{k=1}^nk^2+ 3sum_{k=1}^nk+sum_{k=1}^n1.]

Слева получаем
2^3+3^3+dots+(n+1)^3-(1^3+2^3+dots+n^3)=(n+1)^3-1^3.
Имеем

    [begin{array}{l} displaystyle (n+1)^3-1^3=3sum_{k=1}^nk^2+{3n(n+1)over 2}+n=\[3mm] displaystyle ={2(n+1)^3-2-3n^2-3n-2nover 6}={2n^3+6n^2+6n+2-2-3n^2-3n-2nover 6}=\[3mm] displaystyle ={n(2n^2+3n+1)over 6}={n(n+1)(2n+1)over 6}. end{array}]

Задачи.

1. Найти displaystyle sum_{k=1}^nk^3

2. displaystylesum_{k=1}^nx^k

3. displaystylesum_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1}k^2

4. displaystylesum_{k=1}^n{1over k(k+1)}

5. displaystylesum_{k=1}^nkx^k

6. Найти сумму первых n членов последовательности, если ее k-ый член

    [a_k=4k(k^2+1)-(6k^2+1).]

7. Найти displaystylesum_{k=1}^nunderbrace{555dots5}_{k} (пятерок — k).

8. displaystylesum_{k=1}^nleft( x^k+{1over x^k}right)^2.

Ссылка на основную публикацию