29. Существование показательных функций

Функция натуральный логарифм, определенная в предыдущем параграфе, обладает следующими свойствами:

она определена на (0;+infty),

строго возрастает,

принимает все вещественные значения,

forall a,b>0ln(ab)=ln a+ln b.

У этой функции есть обратная функция. Она обозначается exp и называется экспонента. Функция exp определена на множестве всех вещественных чисел, она строго возрастает. Докажем, что exp(x_1+x_2)=exp x_1cdotexp x_2. Левая и правая части этого равенства — положительные числа, так как все значения экспоненты положительны. Поэтому достаточно доказать, что равны натуральные логарифмы этих чисел.

ln(exp(x_1+x_2))=x_1+x_2,

ln(exp x_1cdotexp x_2)=ln(exp x_1)+ln(exp x_2)=x_1+x_2.

Таким образом, экспонента — это показательная функция. Ее основание, exp(1), обозначается e.

    [exp 1=eLeftrightarrow ln e=1 .]

Теорема. Пусть a>0,ane1. Тогда существует показательная функция с основанием a.

Доказательство. Зададим функцию f по формуле f(x)=exp(xln a). Докажем, что f — показательная функция с основанием a. Заметим, что по определению ln 1=0. Поэтому, если a>1, то ln a>0x mapsto xln a — линейная функция.

Она строго возрастает, если a> 1, и строго убывает, если 0< a< 1. Экспонента строго возрастает, следовательно, композиция f(x)=exp(xln a) строго монотонна.

    [f(x_1+x_2)=exp((x_1+x_2)ln a)=exp(x_1ln a+x_2ln a)=]

    [=exp x_1ln acdot exp x_2ln a=f(x_1)cdot f(x_2) .]

Значит, f> — показательная функция. Ее основание f(1)=exp(ln a)=a.

Следствие. Существование корня (см. S 25).

Ссылка на основную публикацию