28. Натуральный логарифм

Теорема. Пусть f:Xtomathbb{R}, X — промежуток, функция f непрерывна. Тогда у функции f есть первообразная.

Рассмотрим функцию f(x)=1/x на промежутке (0,+infty). По предыдущей теореме, эта функция имеет первообразную. Все первообразные ее имеют вид F(x)+c. Выберем из всех этих первообразных такую, значение которой при x=1 равно 0. Такая первообразная найдется (почему?). Назовем ее натуральным логарифмом.

Обозначение: ln x.

Свойства натурального логарифма

1. Область определения натурального логарифма (0,+infty).

2. ln 1=0.

3. Натуральный логарифм — дифференцируемая функция, и forall x>0 ln^{prime}x=1/x, ln^{prime}x=1/x>0.

4. Натуральный логарифм строго возрастает, так как ln^{prime}x=1/x>0.

5. forall x,y>= ln xy=ln x+ln y.

Доказательство. Зафиксируем y и докажем, что для любого x это равенство выполняется.

    [ln^{prime}xy=frac{1}{xy}cdot y=frac{1}{x} .]

    [(ln x+ln y)^{prime}=frac{1}{x} .]

Значит, ln xy-(ln x+ln y) — постоянная. Подставим вместо x1:

    [ln y-(ln 1+ln y)=0 .]

Следовательно, ln xy=ln x+ln y.

6. Натуральный логарифм — функция, выпуклая вверх.

Доказательство. ln^{prime} x=1/x убывает.

7. forall x>0,y>0displaystyle lnfrac{x}{y}=ln x-ln y.

8. Множество значений натурального логарифма есть вся числовая ось.

Доказательство. Так как функция ln x непрерывна, то, по сформулированной ранее теореме, множество ее значений — промежуток.

Возьмем произвольное число alphainmathbb{R}. Нужно доказать, что exists x>0: ln x=alpha. Для этого достаточно доказать, что

    [exists x_1,x_2>0: ln x_1>alpha,ln x_2<alpha .]

    [begin{array}{l} displaystyle ln2>0,lnfrac{1}{2}<0,\[4mm] displaystyle ln 2^n=nln2, lnfrac{1}{2^n}=nlnfrac{1}{2},\[4mm] displaystyle exists n: nln 2>alpha, nlnfrac{1}{2}<alpha,\[4mm] displaystyle x_1=2^n, x_2=frac{1}{2^n}. end{array}]

Ссылка на основную публикацию